描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
哪种统计量适用于两组等级之间的关系，例如评委对画作的排名？
- ASpearman 等级相关系数（rho）
- BPearson 相关系数 r
- C卡方
- D独立样本 t 检验
2.心理学研究方法困难
分析完数据后，研究者在撰写引言时把一个意外发现写得好像一开始就预测到了一样。这称为：
- A事后说明
- B操作化
- CHARKing（结果已知后提出假设）
- D平衡抵消
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：20, 42, 22, 45, 40。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值高于 560 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 40x = 560
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.05, 0.25, 0.25
Var(X) =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €4，以概率 0.05 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€4: p = 0.15€40: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8293。求 z，保留两位小数。
A = 0.8293
z =
8.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 7.1。 如果同一研究改用 450 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 50E₁ = 7.1n₂ = 450
E₂ =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：12 块地，平均产量 74 kg，标准差 3 kg。地块组 2：9 块地，均值 77 kg，标准差 5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。
n₁ = 12x̄₁ = 74s₁ = 3n₂ = 9x̄₂ = 77s₂ = 590%t(19) = 1.729
下限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −3.36，差值的标准差为 6.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 9d̄ = −3.36sd = 6.3
t =
12.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 131.3。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 131.3σ = 15n = 1690%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 20Σy = 210Σx² = 90Σy² = 8834Σxy = 848
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 39？
n = 5ŷ = 39
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 6 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · Spearman 等级相关系数（rho）
为什么是这个答案
Spearman 等级相关测量两个排序或顺序变量之间单调关系的强度。
答案
A · Spearman 等级相关系数（rho）
2.心理学研究方法
答案: C · HARKing（结果已知后提出假设）
为什么是这个答案
HARKing 把探索性结果当作验证性结果来呈现，使发现看起来比实际更可靠。它是重复危机的成因之一。
答案
C · HARKing（结果已知后提出假设）
3.描述统计
答案: s = 11.84
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 169/5 = 33.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−13.8)² + 8.2² + (−11.8)² + 11.2² + 6.2² = 560.8
标准差
s = √(560.8/4) = 11.84
答案
s = 11.84
4.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
5.概率
答案: Var(X) = 2.128
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.25 + 4·0.25 = 2.15
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.25 + 16·0.25 = 6.75
方差
Var(X) = 6.75 − 2.15² = 2.128
答案
Var(X) = 2.128
6.概率
答案: E(G) = 0.6 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 2 (p = 0.15), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)
期望值
E(G) = 2·0.15 + 38·0.05 − 2·0.8 = 0.6 €
答案
E(G) = 0.6 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: z = 1.37
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8293)/2 = 0.9147
反向查 z 表
在表中找到 0.9147，读出 z。
z = 1.37
答案
z = 1.37
8.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
9.置信区间
答案: E₂ = 2.367
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/450) = 0.3333
新的误差范围
E₂ = 7.1·0.3333 = 2.367
答案
E₂ = 2.367
10.置信区间
答案: 下限 = −6.024 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (11·3² + 8·5²)/19 = 15.74
sp = 3.967
误差范围
E = 1.729·3.967·√(1/12 + 1/9) = 3.024
区间
−3 ± 3.024 → [−6.024, 0.02449]
答案
下限 = −6.024 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 6.3/√9 = 2.1
检验统计量
t = −3.36/2.1 = −1.6
答案
t = −1.6
df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 137.5
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·15/√16 = 6.169
区间端点
U = 131.3 + 6.169 = 137.5
答案
U = 137.5
13.线性回归与相关
答案: r = 0.6761
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 848 − 20·210/5 = 8
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 8834 − 210²/5 = 14
相关系数
r = 8/√(10·14) = 0.6761
答案
r = 0.6761
14.线性回归与相关
答案: x = 1.948
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 269/5 = 53.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194
回归直线
b = 194/40 = 4.85
a = 53.8 − 4.85·5 = 29.55
ŷ = 29.55 + 4.85·x
解出 x
x = (39 − 29.55)/4.85 = 1.948
答案
x = 1.948
15.卡方检验
答案: χ² = 10.7
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 40·40/80 = 20, 40·20/80 = 10, 40·20/80 = 10
农村: 40·40/80 = 20, 40·20/80 = 10, 40·20/80 = 10
卡方统计量
χ² = (27 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (5 − 10)²/10 + (13 − 20)²/20 + (12 − 10)²/10 + (15 − 10)²/10
χ² = 10.7
答案
χ² = 10.7
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 = 5
答案
df = 5
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