心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

需求特征是：

A使参与者猜到研究目的并改变行为的线索
B样本的特征
C统计检验的前提条件
D伦理委员会在研究开始之前提出的正式要求

2.心理学研究方法困难

一名研究者发现冰淇淋销量与溺水死亡人数呈正相关。哪种解释最合理？

A冰淇淋导致溺水
B溺水增加了冰淇淋销量
C炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
D这个相关一定是计算错误

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：13, 36, 29, 60, 30, 22, 45。

n = 7

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值低于 700 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 100x = 700

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.2, 0.35, 0.3

σ =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 5X + 5

σ_Y =

7.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 99.4 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 8< 99.4 kg

P =

8.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

9.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 140.5 h，已知标准差 11 h。型号 2：30 部手机，均值 135.5 h，已知标准差 12 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 60x̄₁ = 140.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 30x̄₂ = 135.5 hσ₂ = 12 h90%

E = h

10.置信区间困难

总体标准差为 15。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 15E = 295%

n =

11.假设检验与置信区间中等

16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 3，差值的标准差为 4.8。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 16d̄ = 3s_d = 4.8

t =

12.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ > 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 18。实际上均值为 57.2。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 57.2σ = 18n = 36α = 0.10

1 − β = %

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (21.5, 79)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(21.5, 79)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1202 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²_crit。

α = 0.05

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: A · 使参与者猜到研究目的并改变行为的线索

为什么是这个答案

当参与者猜出假设时，可能会做出证实或破坏它的行为，从而威胁效度。欺骗和盲法可以减少这种情况。

答案

A · 使参与者猜到研究目的并改变行为的线索

2.心理学研究方法

答案: C · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数

为什么是这个答案

第三个变量——气温——导致了两者。这说明了为什么仅凭相关不能证明因果关系。

答案

C · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数

3.描述统计

答案: s = 15.41

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 235/7 = 33.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−20.57)² + 2.429² + (−4.571)² + 26.43² + (−3.571)² + (−11.57)² + 11.43² = 1426

标准差

s = √(1426/6) = 15.41

答案

s = 15.41

4.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

答案

P = 0.9772

5.概率

答案: σ = 1.03

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.15 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.3 = 2.8

平方的均值

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.3 = 8.9

方差

Var(X) = 8.9 − 2.8² = 1.06

σ = √1.06 = 1.03

答案

σ = 1.03

6.概率

答案: σ_Y = 4.183

X 的离散程度

μ = 1, Var(X) = 0.7, σ_X = 0.8367

线性变换

σ_Y = |5|·0.8367 = 4.183

答案

σ_Y = 4.183

均值确实会改变：E(Y) = 5·1 + 5 = 10。

7.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 96 kg, σ_T = 0.8·√8 = 2.263 kg

标准化

z = (99.4 − 96)/2.263 = 1.5

概率

P = Φ(1.5) = 0.9332

答案

P = 0.9332

8.正态分布

答案: x = 245.8 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

答案

x = 245.79 g

9.置信区间

答案: E = 4.295 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 140.5 − 135.5 = 5

标准误

SE = √(11²/60 + 12²/30) = 2.611

误差范围

E = 1.645·2.611 = 4.295

答案

E = 4.295 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

10.置信区间

答案: n = 217

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·15/2)² = 216.1

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 217

答案

n = 217

11.假设检验与置信区间

答案: t = 2.5

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 4.8/√16 = 1.2

检验统计量

t = 3/1.2 = 2.5

答案

t = 2.5

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 86.82 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 50 + 1.282·3 = 53.85

真实均值下的 z

z = (53.85 − 57.2)/3 = −1.118

功率

功效 = P(Z > −1.118) = 86.82%

1 − β = 86.82%

答案

1 − β = 86.82%

13.线性回归与相关

答案: r = −0.9817

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 100/6 = 16.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −63

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 235.3

答案

r = −0.9817

14.线性回归与相关

答案: e = 4.35

均值

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 405/5 = 81

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381

回归直线

b = 381/90 = 4.233

a = 81 − 4.233·23 = −16.37

ŷ = −16.37 + 4.233·x

预测值

ŷ = −16.37 + 4.233·21.5 = 74.65

残差

e = 79 − 74.65 = 4.35

答案

e = 4.35

该点位于直线上方。

15.卡方检验

答案: χ² = 0.1333

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

吸烟者: 60·60/120 = 30, 60·60/120 = 30

不吸烟者: 60·60/120 = 30, 60·60/120 = 30

卡方统计量

χ² = (31 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30

χ² = 0.1333

答案

χ² = 0.1333

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ²_crit = 5.991

自由度

df = 4 − 1 − 1 = 2

表

χ²_crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991

答案

χ²_crit = 5.991

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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