描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
研究者想检验性别（男/女）与偏好的电影类型（四类）之间是否存在关联。哪种检验合适？
- A卡方独立性检验
- B单因素方差分析
- C配对 t 检验
- DPearson 相关
2.心理学研究方法困难
研究者在九个时间点收集数据，每次都在 5% 水平上检验而不做校正。问题是什么？
- A至少出现一次假阳性的概率远高于 5%
- B数据每次都变得更可靠，因此最后一次检验最准确
- C这种做法没有问题
- D每次检验效应量都会下降
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：15, 59, 55, 25, 54。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值低于 46 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 20x = 46
P =
5.概率中等
袋中有 3 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
3 / 5
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.1, 0.35, 0.35Y = 3X + 4
σY =
7.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 49 和 83.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 49x2 = 83.5
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 97.5%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 12 个个体的样本，均值为 85，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 12x̄ = 85s = 290%t(11) = 1.796
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 22E = 2.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
20 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 3.25，差值的标准差为 4.4。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 20d̄ = 3.25sd = 4.4
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 190%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 65？
n = 6ŷ = 65
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，汽车”的期望频数 E。
行合计 = 85列合计 = 66N = 185
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 9 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 9
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 卡方独立性检验
为什么是这个答案
卡方检验比较列联表中的观察频数与期望频数，以检验两个分类变量是否相关联。
答案
A · 卡方独立性检验
2.心理学研究方法
答案: A · 至少出现一次假阳性的概率远高于 5%
为什么是这个答案
进行九次独立检验时，至少犯一次第一类错误的概率约为 1 − 0.95⁹ ≈ 37%。邦费罗尼校正等方法可以解决这一问题。
答案
A · 至少出现一次假阳性的概率远高于 5%
3.描述统计
答案: s = 20.12
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 208/5 = 41.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−26.6)² + 17.4² + 13.4² + (−16.6)² + 12.4² = 1619
标准差
s = √(1619/4) = 20.12
答案
s = 20.12
4.描述统计
答案: P = 0.1151
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答案
P = 0.1151
5.概率
答案: P = 0.1071
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0.1071
答案
P = 0.1071
6.概率
答案: σY = 3.324
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.85, Var(X) = 1.228, σX = 1.108
线性变换
σY = |3|·1.108 = 3.324
答案
σY = 3.324
均值确实会改变：E(Y) = 3·1.85 + 4 = 9.55。
7.正态分布
答案: P = 0.913
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (49 − 65)/10 = −1.6
z₂ = (83.5 − 65)/10 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.6) = 0.9678 − 0.0548 = 0.913
答案
P = 0.913
8.正态分布
答案: x = 191.7 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm
答案
x = 191.72 cm
9.置信区间
答案: E = 1.037
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 11, t = 1.796
误差范围
E = 1.796·2/√12 = 1.037
答案
E = 1.037
10.置信区间
答案: n = 210
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·22/2.5)² = 209.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 210
答案
n = 210
11.假设检验与置信区间
答案: t = 3.303
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 4.4/√20 = 0.9839
检验统计量
t = 3.25/0.9839 = 3.303
答案
t = 3.303
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 271
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·10/1)² = 270.6
向上取整
n = 271
答案
n = 271
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9384
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 87/6 = 14.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 161.5
决定系数
r² = −51.5²/(17.5·161.5) = 0.9384
答案
r² = 0.9384
y 的变异中约有 93.84% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: x = 16.96
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 452/6 = 75.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 354
回归直线
b = 354/70 = 5.057
a = 75.33 − 5.057·19 = −20.75
ŷ = −20.75 + 5.057·x
解出 x
x = (65 − (−20.75))/5.057 = 16.96
答案
x = 16.96
15.卡方检验
答案: E = 30.32
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 85·66/185 = 30.32
答案
E = 30.32
16.卡方检验
答案: df = 7
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 9 − 1 − 1 = 7
答案
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology