描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项只以美国本科生为对象的研究可能缺乏：
- A总体效度
- B内部一致性
- C内容效度
- D评分者间信度
2.心理学研究方法困难
一名研究者发现冰淇淋销量与溺水死亡人数呈正相关。哪种解释最合理？
- A炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
- B溺水增加了冰淇淋销量
- C这个相关一定是计算错误
- D冰淇淋导致溺水
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：40, 33, 46, 26, 51, 39, 30。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。求成绩 97.5 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 5x = 97.5
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.3 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.3€40: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量低于 148.2 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6< 148.2 kg
P =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 84.5 h，已知标准差 3 h。型号 2：80 部手机，均值 88 h，已知标准差 5 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 40x̄₁ = 84.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 80x̄₂ = 88 hσ₂ = 5 h90%
上限 = h
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p = 0.5E = 0.0399%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 20。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 95.76。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ < 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 20n = 100x̄ = 95.76H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 1 个单位的偏移。标准差为 5。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 1σ = 5zα = 1.645zβ = 1.645
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 25Σy = 268Σx² = 135Σy² = 14640Σxy = 1392
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 1.5 时的 ŷ。
n = 5x = 1.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 6 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 总体效度
为什么是这个答案
总体效度是外部效度的一种。主要由年轻、西方、受过教育的人组成的样本可能无法代表其他人。
答案
A · 总体效度
2.心理学研究方法
答案: A · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
为什么是这个答案
第三个变量——气温——导致了两者。这说明了为什么仅凭相关不能证明因果关系。
答案
A · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
3.描述统计
答案: s = 8.859
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 265/7 = 37.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = 2.143² + (−4.857)² + 8.143² + (−11.86)² + 13.14² + 1.143² + (−7.857)² = 470.9
标准差
s = √(470.9/6) = 8.859
答案
s = 8.859
4.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (97.5 − 100)/5 = −0.5
答案
z = −0.5
5.概率
答案: σ = 0.8047
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
方差
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
答案
σ = 0.8047
6.概率
答案: E(G) = 1.8 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.3), 38 (p = 0.02), −2 (p = 0.68)
期望值
E(G) = 8·0.3 + 38·0.02 − 2·0.68 = 1.8 €
答案
E(G) = 1.8 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.07078
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 150 kg, σT = 0.5·√6 = 1.225 kg
标准化
z = (148.2 − 150)/1.225 = −1.47
概率
P = Φ(−1.47) = 0.07078
答案
P = 0.07078
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = −2.294 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 84.5 − 88 = −3.5
标准误
SE = √(3²/40 + 5²/80) = 0.7331
误差范围
E = 1.645·0.7331 = 1.206
区间
−3.5 ± 1.206 → [−4.706, −2.294]
答案
上限 = −2.294 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: n = 1844
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.03² = 1843
向上取整
n = 1844
答案
n = 1844
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.017
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 20/√100 = 2
z = (95.76 − 100)/2 = −2.12
尾部面积
Φ(2.12) = 0.9830
1 − Φ(2.12) = 0.0170
p 值
p = 0.017
答案
p = 0.017
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 271
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·5/1)² = 270.6
向上取整
n = 271
答案
n = 271
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9912
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1392 − 25·268/5 = 52
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 14640 − 268²/5 = 275.2
相关系数
r = 52/√(10·275.2) = 0.9912
答案
r = 0.9912
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 23.8
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
回归直线
b = −20/10 = −2
a = 20.8 − (−2)·3 = 26.8
ŷ = 26.8 − 2·x
预测
ŷ = 26.8 + (−2)·1.5 = 23.8
答案
ŷ = 23.8
15.卡方检验
答案: χ² = 0.3492
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 100·154/220 = 70, 100·66/220 = 30
女性: 120·154/220 = 84, 120·66/220 = 36
卡方统计量
χ² = (68 − 70)²/70 + (32 − 30)²/30 + (86 − 84)²/84 + (34 − 36)²/36
χ² = 0.3492
答案
χ² = 0.3492
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 15.09
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.01) = 15.086
答案
χ²crit = 15.086
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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