描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项只以美国本科生为对象的研究可能缺乏：
- A内部一致性
- B总体效度
- C内容效度
- D评分者间信度
2.心理学研究方法困难
一个自评量表发现，同意很多陈述的人不论内容如何都会得高分。这是哪种反应偏差？如何减少？
- A顺序效应；对参与者进行平衡抵消
- B社会赞许性偏差；使用更大的样本
- C需求特征；使用双盲设计
- D默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：51, 48, 51, 25, 19, 30。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。数值低于 107.5 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 5x = 107.5
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.3, 0.3, 0.3, 0.05
Var(X) =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.25, 0.3, 0.15, 0.15Y = 0.5X + 10
σY =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0322。求 z，保留两位小数。
A = 0.0322
z =
8.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 99%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 30 个个体的样本，均值为 28.5，标准差 s = 5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 30x̄ = 28.5s = 595%t(29) = 2.045
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 37。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 37E = 290%
n =
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 101.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 101.9s = 8n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 11。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 1.5σ = 11zα = 1.645zβ = 1.645
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 129Σx² = 91Σy² = 2849Σxy = 417
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5.5 时的 ŷ。
n = 6x = 5.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 67列合计 = 33N = 149
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 总体效度
为什么是这个答案
总体效度是外部效度的一种。主要由年轻、西方、受过教育的人组成的样本可能无法代表其他人。
答案
B · 总体效度
2.心理学研究方法
答案: D · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
为什么是这个答案
默认偏差是一种倾向于同意题目的倾向。混合正向和反向措辞的题目，意味着对一切都表示同意不再会产生极端分数。
答案
D · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
3.描述统计
答案: s = 14.35
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 224/6 = 37.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13.67² + 10.67² + 13.67² + (−12.33)² + (−18.33)² + (−7.333)² = 1029
标准差
s = √(1029/5) = 14.35
答案
s = 14.35
4.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
5.概率
答案: Var(X) = 1
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.05 + 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.05 = 2
平方的均值
E(X²) = 0·0.05 + 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.05 = 5
方差
Var(X) = 5 − 2² = 1
答案
Var(X) = 1
6.概率
答案: σY = 0.6305
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.9, Var(X) = 1.59, σX = 1.261
线性变换
σY = |0.5|·1.261 = 0.6305
答案
σY = 0.6305
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·2.9 + 10 = 11.45。
7.正态分布
答案: z = 1.85
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0322 = 0.9678
反向查 z 表
在表中找到 0.9678，读出 z。
z = 1.85
答案
z = 1.85
8.正态分布
答案: x = 134.9 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 100 + 2.326·15 = 134.89 分
答案
x = 134.89 分
9.置信区间
答案: E = 1.867
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 29, t = 2.045
误差范围
E = 2.045·5/√30 = 1.867
答案
E = 1.867
10.置信区间
答案: n = 927
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·37/2)² = 926.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 927
答案
n = 927
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.138
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889
检验统计量
t = (101.9 − 100)/0.8889 = 2.138
答案
t = 2.138
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 583
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·11/1.5)² = 582.1
向上取整
n = 583
答案
n = 583
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9491
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 417 − 21·129/6 = −34.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2849 − 129²/6 = 75.5
相关系数
r = −34.5/√(17.5·75.5) = −0.9491
答案
r = −0.9491
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 77.67
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 466/6 = 77.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
回归直线
b = 116/17.5 = 6.629
a = 77.67 − 6.629·5.5 = 41.21
ŷ = 41.21 + 6.629·x
预测
ŷ = 41.21 + 6.629·5.5 = 77.67
答案
ŷ = 77.67
15.卡方检验
答案: E = 14.84
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 67·33/149 = 14.84
答案
E = 14.84
16.卡方检验
答案: χ² = 5.625
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 24, 16
生产线 2: 48, 32
生产线 3: 24, 16
卡方统计量
χ² = (30 − 24)²/24 + (10 − 16)²/16 + (46 − 48)²/48 + (34 − 32)²/32 + (20 − 24)²/24 + (20 − 16)²/16
χ² = 5.625
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
5.625 < 9.210
答案
χ² = 5.625
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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