描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项横断面研究同时比较 20 岁、40 岁和 60 岁人群的科技使用情况。哪个问题可能混淆年龄比较？
- A顺序效应
- B练习效应
- C地板效应
- D同龄群体（队列）效应
2.心理学研究方法困难
实验中把参与者随机分配到各条件的主要目的是什么？
- A使样本能代表目标总体，从而使结果可以推广
- B确保参与者不知道研究目的
- C使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
- D提高应答率
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：57, 60, 58, 17, 11。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。求成绩 112 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 12x = 112
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.15, 0.35, 0.1, 0.1
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.3 赢得 €6，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€6: p = 0.3€40: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 438 和 548 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 438x2 = 548
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 17.5，标准差 s = 12.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 17.5s = 12.599%t(8) = 3.355
下限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 97.5 kg，标准差 6 kg。地块组 2：9 块地，均值 89 kg，标准差 7 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 8x̄₁ = 97.5s₁ = 6n₂ = 9x̄₂ = 89s₂ = 799%t(15) = 2.947
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 100.5，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 100.5s = 4n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 9。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 1.5σ = 9zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 11 时的 ŷ。
n = 6x = 11
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 60列合计 = 30N = 123
E =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 同龄群体（队列）效应
为什么是这个答案
不同年龄组在不同的历史条件下长大，因此差异可能反映的是代际（队列）差异，而不是衰老本身。
答案
D · 同龄群体（队列）效应
2.心理学研究方法
答案: C · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
为什么是这个答案
随机分配平衡了各条件间的个体差异，支持因果结论；随机抽样则关系到向总体的推广。
答案
C · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
3.描述统计
答案: s = 24.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 203/5 = 40.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 16.4² + 19.4² + 17.4² + (−23.6)² + (−29.6)² = 2381
标准差
s = √(2381/4) = 24.4
答案
s = 24.4
4.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (112 − 100)/12 = 1
答案
z = 1
5.概率
答案: σ = 1.284
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.35 + 4·0.1 + 5·0.1 = 2.55
平方的均值
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.35 + 16·0.1 + 25·0.1 = 8.15
方差
Var(X) = 8.15 − 2.55² = 1.648
σ = √1.648 = 1.284
答案
σ = 1.284
6.概率
答案: E(G) = 0.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.3), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.69)
期望值
E(G) = 4·0.3 + 38·0.01 − 2·0.69 = 0.2 €
答案
E(G) = 0.2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.8244
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (438 − 500)/40 = −1.55
z₂ = (548 − 500)/40 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−1.55) = 0.8849 − 0.06057 = 0.8244
答案
P = 0.8244
8.正态分布
答案: P = 0.8264
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94
概率
P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264
答案
P = 0.8264
9.置信区间
答案: 下限 = 3.521
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 3.355
误差范围
E = 3.355·12.5/√9 = 13.98
区间
17.5 ± 13.98 → [3.521, 31.48]
答案
下限 = 3.521
10.置信区间
答案: 上限 = 17.88 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (7·6² + 8·7²)/15 = 42.93
sp = 6.552
误差范围
E = 2.947·6.552·√(1/8 + 1/9) = 9.383
区间
8.5 ± 9.383 → [−0.8829, 17.88]
答案
上限 = 17.88 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = 0.75
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
检验统计量
t = (100.5 − 100)/0.6667 = 0.75
答案
t = 0.75
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 309
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·9/1.5)² = 308.4
向上取整
n = 309
答案
n = 309
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9895
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 344/6 = 57.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1299
决定系数
r² = 300²/(70·1299) = 0.9895
答案
r² = 0.9895
y 的变异中约有 98.95% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 24.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 101/6 = 16.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129
回归直线
b = 129/70 = 1.843
a = 16.83 − 1.843·7 = 3.933
ŷ = 3.933 + 1.843·x
预测
ŷ = 3.933 + 1.843·11 = 24.2
答案
ŷ = 24.2
15.卡方检验
答案: E = 14.63
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 60·30/123 = 14.63
答案
E = 14.63
16.卡方检验
答案: df = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
答案
df = 10
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