描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在内容分析中，评分者间信度是如何检验的？
- A在同一天内对材料编码两次
- B使用更大的材料样本
- C事后询问参与者研究者对其材料的编码是否正确
- D让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
2.心理学研究方法困难
一项"智力"测验主要测量的是人们打字有多快。最明显缺乏的是哪种效度？
- A结构效度
- B内部一致性
- C重测信度
- D评分者间信度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：22, 17, 12, 23, 45, 28。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值高于 75 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 10x = 75
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 2
P =
6.概率困难
一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.4k = 4
P =
7.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 35.1 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.1 min
P =
8.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 25%
x = min
9.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 20，标准差 s = 9。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 7x̄ = 20s = 995%t(6) = 2.447
E =
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p ≈ 0.3E = 0.0299%
n =
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 48.8，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 48.8s = 8n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 55.6。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 55.6σ = 12n = 3699%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3 时的 ŷ。
n = 5x = 3
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
2 × 3
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
为什么是这个答案
如果独立的编码者对相同数据给出相似的编码（一致性或相关性高），说明编码方案具有信度。
答案
D · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
2.心理学研究方法
答案: A · 结构效度
为什么是这个答案
结构效度是指一个测量是否真正反映了其背后的结构。一个测验可以很可靠，却测量了错误的东西。
答案
A · 结构效度
3.描述统计
答案: s = 11.43
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 147/6 = 24.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−2.5)² + (−7.5)² + (−12.5)² + (−1.5)² + 20.5² + 3.5² = 653.5
标准差
s = √(653.5/5) = 11.43
答案
s = 11.43
4.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
5.概率
答案: P = 0.3056
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答案
P = 0.3056
6.概率
答案: P = 0.1935
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 35·0.44·0.63 = 35·0.0256·0.216 = 0.1935
答案
P = 0.1935
7.正态分布
答案: P = 0.1075
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24
上尾
P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075
答案
P = 0.1075
8.正态分布
答案: x = 27.95 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 32 + −0.6745·6 = 27.95 min
答案
x = 27.95 min
9.置信区间
答案: E = 8.324
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 2.447
误差范围
E = 2.447·9/√7 = 8.324
答案
E = 8.324
10.置信区间
答案: n = 3484
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.3·0.7/0.02² = 3484
向上取整
n = 3484
答案
n = 3484
11.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333
检验统计量
t = (48.8 − 50)/1.333 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 50.45
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·12/√36 = 5.152
区间端点
L = 55.6 − 5.152 = 50.45
答案
L = 50.45
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9349
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 338/5 = 67.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
Syy = Σ(y − ȳ)² = 719.2
决定系数
r² = 164²/(40·719.2) = 0.9349
答案
r² = 0.9349
y 的变异中约有 93.49% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 54.35
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 361/5 = 72.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238
回归直线
b = 238/40 = 5.95
a = 72.2 − 5.95·6 = 36.5
ŷ = 36.5 + 5.95·x
预测
ŷ = 36.5 + 5.95·3 = 54.35
答案
ŷ = 54.35
15.卡方检验
答案: χ² = 17.5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 60·42/140 = 18, 60·42/140 = 18, 60·56/140 = 24
教职工: 80·42/140 = 24, 80·42/140 = 24, 80·56/140 = 32
卡方统计量
χ² = (24 − 18)²/18 + (24 − 18)²/18 + (12 − 24)²/24 + (18 − 24)²/24 + (18 − 24)²/24 + (44 − 32)²/32
χ² = 17.5
答案
χ² = 17.5
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
答案
df = 2
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