描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
研究者想检验性别（男/女）与偏好的电影类型（四类）之间是否存在关联。哪种检验合适？
- APearson 相关
- B配对 t 检验
- C单因素方差分析
- D卡方独立性检验
2.心理学研究方法困难
运动能减轻抑郁，其原因是运动改善了睡眠，而睡眠改善又降低了抑郁。睡眠最好描述为：
- A控制变量
- B无关变量
- C调节变量
- D中介变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：53, 57, 26, 54, 30, 37。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 58 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 58
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 3
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 20。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.35, 0.05, 0.25, 0.3Y = −2X + 20
σY =
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.75 和 259.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 242.75x2 = 259.25
P =
8.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g75%
x = g
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 24，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 25x̄ = 24s = 1099%t(24) = 2.797
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 23E = 190%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 16。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 53。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ > 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 16n = 64x̄ = 53H₁: μ > μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 30。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 4σ = 30zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 31.5 时的 ŷ。
n = 6x = 31.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 7 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 7
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 卡方独立性检验
为什么是这个答案
卡方检验比较列联表中的观察频数与期望频数，以检验两个分类变量是否相关联。
答案
D · 卡方独立性检验
2.心理学研究方法
答案: D · 中介变量
为什么是这个答案
中介变量位于预测变量和结果之间的因果路径上，解释效应是如何或为什么发生的。
答案
D · 中介变量
3.描述统计
答案: s = 13.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 257/6 = 42.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = 10.17² + 14.17² + (−16.83)² + 11.17² + (−12.83)² + (−5.833)² = 910.8
标准差
s = √(910.8/5) = 13.5
答案
s = 13.5
4.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
答案
P = 0.9332
5.概率
答案: P = 0.4213
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
答案
P = 0.4213
6.概率
答案: σY = 2.713
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.4, Var(X) = 1.84, σX = 1.356
线性变换
σY = |−2|·1.356 = 2.713
答案
σY = 2.713
均值确实会改变：E(Y) = −2·2.4 + 20 = 15.2。
7.正态分布
答案: P = 0.8943
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.45) = 0.9678 − 0.07353 = 0.8943
答案
P = 0.8943
8.正态分布
答案: x = 253.4 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g
答案
x = 253.4 g
9.置信区间
答案: E = 5.594
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.797
误差范围
E = 2.797·10/√25 = 5.594
答案
E = 5.594
10.置信区间
答案: n = 1432
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·23/1)² = 1431
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1432
答案
n = 1432
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.06681
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (53 − 50)/2 = 1.5
尾部面积
Φ(1.5) = 0.9332
1 − Φ(1.5) = 0.0668
p 值
p = 0.06681
答案
p = 0.06681
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 565
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·30/4)² = 564.5
向上取整
n = 565
答案
n = 565
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9676
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 77/6 = 12.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113
Syy = Σ(y − ȳ)² = 194.8
相关系数
r = 113/√(70·194.8) = 0.9676
答案
r = 0.9676
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 117.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 546/6 = 91
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 696
回归直线
b = 696/157.5 = 4.419
a = 91 − 4.419·25.5 = −21.69
ŷ = −21.69 + 4.419·x
预测
ŷ = −21.69 + 4.419·31.5 = 117.5
答案
ŷ = 117.5
15.卡方检验
答案: χ² = 23.81
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 40·56/80 = 28, 40·24/80 = 12
女性: 40·56/80 = 28, 40·24/80 = 12
卡方统计量
χ² = (18 − 28)²/28 + (22 − 12)²/12 + (38 − 28)²/28 + (2 − 12)²/12
χ² = 23.81
答案
χ² = 23.81
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 = 6
答案
df = 6
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