描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
分半信度涉及：
- A把样本分成实验组和控制组，并比较两组的得分
- B两名观察者各负责一半的观察时段
- C比较同一测验两半的得分，以检查内部一致性
- D在不同时间测试样本的两半
2.心理学研究方法困难
比较四个组的单因素方差分析结果显著。为找出哪些组之间存在差异，研究者下一步应该做什么？
- A进行事后检验，如 Tukey HSD
- B断定四个组彼此之间都有差异
- C对平均数进行卡方检验
- D把结果作为相关来报告
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：35, 56, 55, 58, 26。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 100 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 20x = 100
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.35
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €10，以概率 0.05 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.1€40: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 663 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 663 kg
P =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 85 h，已知标准差 14 h。型号 2：80 部手机，均值 88.5 h，已知标准差 11 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 100x̄₁ = 85 hσ₁ = 14 hn₂ = 80x̄₂ = 88.5 hσ₂ = 11 h99%
上限 = h
10.置信区间困难
总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 25E = 0.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 497.8，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 497.8s = 8n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 504.8。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 504.8σ = 12n = 3690%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5.5 时的 ŷ。
n = 5x = 5.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 比较同一测验两半的得分，以检查内部一致性
为什么是这个答案
如果两半测量的是同一个结构，它们的得分应高度相关。Cronbach's α 把这一思路推广到所有可能的分半方式。
答案
C · 比较同一测验两半的得分，以检查内部一致性
2.心理学研究方法
答案: A · 进行事后检验，如 Tukey HSD
为什么是这个答案
显著的 F 值表明并非所有平均数都相等。事后检验或计划对比可以在控制错误率的同时确定哪些组对之间存在差异。
答案
A · 进行事后检验，如 Tukey HSD
3.描述统计
答案: s = 14.54
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 230/5 = 46
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−11)² + 10² + 9² + 12² + (−20)² = 846
标准差
s = √(846/4) = 14.54
答案
s = 14.54
4.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (100 − 70)/20 = 1.5
答案
z = 1.5
5.概率
答案: σ = 1.09
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.75
平方的均值
E(X²) = 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.75
方差
Var(X) = 8.75 − 2.75² = 1.188
σ = √1.188 = 1.09
答案
σ = 1.09
6.概率
答案: E(G) = 1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.1), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.85)
期望值
E(G) = 8·0.1 + 38·0.05 − 2·0.85 = 1 €
答案
E(G) = 1 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.3085
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33.94 kg
标准化
z = (663 − 680)/33.94 = −0.5
概率
P = Φ(−0.5) = 0.3085
答案
P = 0.3085
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = 1.3 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 85 − 88.5 = −3.5
标准误
SE = √(14²/100 + 11²/80) = 1.863
误差范围
E = 2.576·1.863 = 4.8
区间
−3.5 ± 4.8 → [−8.3, 1.3]
答案
上限 = 1.3 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
10.置信区间
答案: n = 9604
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·25/0.5)² = 9604
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 9604
答案
n = 9604
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.375
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6
检验统计量
t = (497.8 − 500)/1.6 = −1.375
答案
t = −1.375
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 501.5
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·12/√36 = 3.29
区间端点
L = 504.8 − 3.29 = 501.5
答案
L = 501.5
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9754
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 330/6 = 55
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 95
Syy = Σ(y − ȳ)² = 542
相关系数
r = 95/√(17.5·542) = 0.9754
答案
r = 0.9754
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 41.95
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 205/5 = 41
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 19
回归直线
b = 19/10 = 1.9
a = 41 − 1.9·5 = 31.5
ŷ = 31.5 + 1.9·x
预测
ŷ = 31.5 + 1.9·5.5 = 41.95
答案
ŷ = 41.95
15.卡方检验
答案: χ² = 2.381
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 120·60/240 = 30, 120·84/240 = 42, 120·96/240 = 48
教职工: 120·60/240 = 30, 120·84/240 = 42, 120·96/240 = 48
卡方统计量
χ² = (35 − 30)²/30 + (41 − 42)²/42 + (44 − 48)²/48 + (25 − 30)²/30 + (43 − 42)²/42 + (52 − 48)²/48
χ² = 2.381
答案
χ² = 2.381
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 13.28
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277
答案
χ²crit = 13.277
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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