描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在一项相关研究中，r = 0.40。一个变量的方差中有多大比例与另一个变量共享？
- A16%
- B4%
- C40%
- D60%
2.心理学研究方法困难
一项研究表明，某问卷与同一构念的成熟测验高度相关。这支持：
- A同时效度
- B重测信度
- C生态效度
- D表面效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：29, 21, 30, 57, 18, 38。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值低于 300 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 100x = 300
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.25, 0.15, 0.3
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.2 赢得 €4，以概率 0.01 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€4: p = 0.2€10: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 24.8 和 35 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 24.8x2 = 35
P =
8.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 10%
x = 分
9.置信区间中等
测量 16 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −4.6，标准差为 1.1。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 16d̄ = −4.6sd = 1.190%t(15) = 1.753
E = mmHg
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p = 0.5E = 0.02595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
13 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −1.41，差值的标准差为 1.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 13d̄ = −1.41sd = 1.5
t =
12.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 196.2。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 196.2σ = 20n = 8195%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (24.5, 101)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(24.5, 101)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，无缺陷”的期望频数 E。
行合计 = 68列合计 = 51N = 168
E =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 16%
为什么是这个答案
决定系数为 r²，这里是 0.40² = 0.16，因此有 16% 的方差是共享的。
答案
A · 16%
2.心理学研究方法
答案: A · 同时效度
为什么是这个答案
当新测量与大致同时进行的成熟测量结果一致时，就证明了同时效度。
答案
A · 同时效度
3.描述统计
答案: s = 14.08
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 193/6 = 32.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−3.167)² + (−11.17)² + (−2.167)² + 24.83² + (−14.17)² + 5.833² = 990.8
标准差
s = √(990.8/5) = 14.08
答案
s = 14.08
4.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答案
P = 0.02275
5.概率
答案: σ = 1.203
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.3 = 1.45
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.3 = 3.55
方差
Var(X) = 3.55 − 1.45² = 1.447
σ = √1.447 = 1.203
答案
σ = 1.203
6.概率
答案: E(G) = −0.1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.2), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)
期望值
E(G) = 3·0.2 + 9·0.01 − 1·0.79 = −0.1 €
答案
E(G) = −0.1 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: P = 0.5764
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (24.8 − 32)/6 = −1.2
z₂ = (35 − 32)/6 = 0.5
中间面积
P = Φ(0.5) − Φ(−1.2) = 0.6915 − 0.1151 = 0.5764
答案
P = 0.5764
8.正态分布
答案: x = 52.18 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分
答案
x = 52.18 分
9.置信区间
答案: E = 0.4821 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 15, t = 1.753
误差范围
E = 1.753·1.1/√16 = 0.4821
答案
E = 0.4821 mmHg
10.置信区间
答案: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.025² = 1537
向上取整
n = 1537
答案
n = 1537
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.389
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 1.5/√13 = 0.416
检验统计量
t = −1.41/0.416 = −3.389
答案
t = −3.389
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 191.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·20/√81 = 4.356
区间端点
L = 196.2 − 4.356 = 191.8
答案
L = 191.8
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.8738
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 195/6 = 32.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 129.5
决定系数
r² = 44.5²/(17.5·129.5) = 0.8738
答案
r² = 0.8738
y 的变异中约有 87.38% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −3
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 624/6 = 104
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 753
回归直线
b = 753/157.5 = 4.781
a = 104 − 4.781·24.5 = −13.13
ŷ = −13.13 + 4.781·x
预测值
ŷ = −13.13 + 4.781·24.5 = 104
残差
e = 101 − 104 = −3
答案
e = −3
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 20.64
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 68·51/168 = 20.64
答案
E = 20.64
16.卡方检验
答案: χ²crit = 15.09
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.01) = 15.086
答案
χ²crit = 15.086
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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