心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

第一类错误发生在研究者：

A拒绝了一个实际上为真的零假设
B收集了过多的数据
C没有拒绝一个错误的零假设
D使用了错误的统计检验

2.心理学研究方法困难

一个心理学系只从心理学导论课中招募参与者。批评者说这些样本是"WEIRD"的。这指的是什么？

A西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广
B早早退出研究的样本
C用加权随机方法招募的样本
D行为异常古怪的样本

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 32, 49, 27, 12。

n = 5

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值低于 125 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 20x = 125

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.25, 0.25

σ =

6.概率困难

测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.1

P =

7.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.3759。求 z，保留两位小数。

A = 0.3759

z =

8.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

9.置信区间中等

测量 8 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 0.6，标准差为 4.4。求平均差值的 90% 置信区间的上限。

n = 8d̄ = 0.6s_d = 4.490%t(7) = 1.895

上限 = mmHg

10.置信区间困难

总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 36E = 1.595%

n =

11.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 123.2，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 123.2s = 12n = 64

t =

12.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 64.1。总体标准差为 15。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 64.1σ = 15n = 1699%

U =

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 18)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 18)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1202 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: A · 拒绝了一个实际上为真的零假设

为什么是这个答案

第一类错误是声称存在一个并不存在的效应，其概率等于显著性水平（常为 0.05）。第二类错误是漏掉了真实的效应。

答案

A · 拒绝了一个实际上为真的零假设

2.心理学研究方法

答案: A · 西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广

为什么是这个答案

Henrich 及其同事指出，大多数心理学研究参与者来自 WEIRD 社会，这些社会不能代表全人类，从而威胁总体效度。

答案

A · 西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广

3.描述统计

答案: s = 14.82

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 135/5 = 27

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 5² + 22² + 0² + (−15)² = 878

标准差

s = √(878/4) = 14.82

答案

s = 14.82

4.描述统计

答案: P = 0.8944

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答案

P = 0.8944

5.概率

答案: σ = 1.2

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.25 + 4·0.25 = 2.4

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.25 + 16·0.25 = 7.2

方差

Var(X) = 7.2 − 2.4² = 1.44

σ = √1.44 = 1.2

答案

σ = 1.2

6.概率

答案: P = 0.6974

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.9¹¹ = 0.3138

P(X = 1) = 11·0.1·0.9¹⁰ = 0.3835

相加

P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974

答案

P = 0.6974

7.正态分布

答案: z = 0.49

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.3759)/2 = 0.6879

反向查 z 表

在表中找到 0.6879，读出 z。

z = 0.49

答案

z = 0.49

8.正态分布

答案: x = 253.4 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g

答案

x = 253.4 g

9.置信区间

答案: 上限 = 3.548 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·4.4/√8 = 2.948

区间

0.6 ± 2.948 → [−2.348, 3.548]

答案

上限 = 3.548 mmHg

10.置信区间

答案: n = 2213

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·36/1.5)² = 2213

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 2213

答案

n = 2213

11.假设检验与置信区间

答案: t = 2.133

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5

检验统计量

t = (123.2 − 120)/1.5 = 2.133

答案

t = 2.133

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: U = 73.76

误差范围

E = 2.576·15/√16 = 9.66

区间端点

U = 64.1 + 9.66 = 73.76

答案

U = 73.76

13.线性回归与相关

答案: r = −0.932

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 109/6 = 18.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118.8

答案

r = −0.932

14.线性回归与相关

答案: e = 2.7

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 99/5 = 19.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

回归直线

b = −30/10 = −3

a = 19.8 − (−3)·3 = 28.8

ŷ = 28.8 − 3·x

预测值

ŷ = 28.8 + (−3)·4.5 = 15.3

残差

e = 18 − 15.3 = 2.7

答案

e = 2.7

该点位于直线上方。

15.卡方检验

答案: χ² = 8.889

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

吸烟者: 60·72/120 = 36, 60·48/120 = 24

不吸烟者: 60·72/120 = 36, 60·48/120 = 24

卡方统计量

χ² = (28 − 36)²/36 + (32 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36 + (16 − 24)²/24

χ² = 8.889

答案

χ² = 8.889

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 11.63

期望频数

18–30 岁: 24, 16

31–50 岁: 48, 32

51 岁及以上: 60, 40

卡方统计量

χ² = (30 − 24)²/24 + (10 − 16)²/16 + (54 − 48)²/48 + (26 − 32)²/32 + (48 − 60)²/60 + (52 − 40)²/40

χ² = 11.63

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

11.63 > 5.991

答案

χ² = 11.63

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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