描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者比较一个偏远小镇在电视出现前后儿童的攻击行为。电视的出现不受研究者控制。这是：
- A自然实验
- B实验室实验
- C关于看电视的相关调查
- D现场实验
2.心理学研究方法困难
一项记忆研究采用重复测量设计，每个人都先学习列表 A，再学习列表 B。列表 B 的回忆成绩更好。最可能的缺陷是什么？
- A使用了顺序测量水平
- B样本量太大
- C由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
- D各组之间的个体差异
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：37, 60, 23, 41, 58, 16。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值低于 38 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 12x = 38
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.2, 0.35, 0.2
σ =
6.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.5k = 2
P =
7.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.6 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.6 mm
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 51.5 h，已知标准差 3 h。型号 2：60 部手机，均值 59 h，已知标准差 5 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 40x̄₁ = 51.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 60x̄₂ = 59 hσ₂ = 5 h90%
上限 = h
10.置信区间困难
总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 29E = 2.599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 5。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 49.01。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ < 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 5n = 100x̄ = 49.01H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 197.8。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 197.8σ = 4n = 2590%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 24)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(1.5, 24)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1603 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 自然实验
为什么是这个答案
在自然实验中，自变量因研究者无法控制的事件而变化。生态效度高，但无法随机分配。
答案
A · 自然实验
2.心理学研究方法
答案: C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
为什么是这个答案
当所有参与者以相同顺序经历各条件时，成绩提高可能反映的是练习而不是列表本身。平衡抵消（ABBA，或一半 AB、一半 BA）可以控制这一问题。
答案
C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
3.描述统计
答案: s = 17.86
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 235/6 = 39.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−2.167)² + 20.83² + (−16.17)² + 1.833² + 18.83² + (−23.17)² = 1595
标准差
s = √(1595/5) = 17.86
答案
s = 17.86
4.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答案
P = 0.1587
5.概率
答案: σ = 2.145
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 2·0.2 + 4·0.35 + 6·0.2 = 3
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 4·0.2 + 16·0.35 + 36·0.2 = 13.6
方差
Var(X) = 13.6 − 3² = 4.6
σ = √4.6 = 2.145
答案
σ = 2.145
6.概率
答案: P = 0.07031
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 36·0.52·0.57 = 36·0.25·0.007813 = 0.07031
答案
P = 0.07031
7.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (199.6 − 200)/0.5 = −0.8
上尾
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
8.正态分布
答案: P = 0.9868
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22
概率
P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868
答案
P = 0.9868
9.置信区间
答案: 上限 = −6.182 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 51.5 − 59 = −7.5
标准误
SE = √(3²/40 + 5²/60) = 0.801
误差范围
E = 1.645·0.801 = 1.318
区间
−7.5 ± 1.318 → [−8.818, −6.182]
答案
上限 = −6.182 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: n = 893
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·29/2.5)² = 892.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 893
答案
n = 893
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.02385
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5
z = (49.01 − 50)/0.5 = −1.98
尾部面积
Φ(1.98) = 0.9761
1 − Φ(1.98) = 0.0239
p 值
p = 0.02385
答案
p = 0.02385
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 196.5
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·4/√25 = 1.316
区间端点
L = 197.8 − 1.316 = 196.5
答案
L = 196.5
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.8828
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Syy = Σ(y − ȳ)² = 70.8
决定系数
r² = −25²/(10·70.8) = 0.8828
答案
r² = 0.8828
y 的变异中约有 88.28% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = 1.85
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 86/5 = 17.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
回归直线
b = −33/10 = −3.3
a = 17.2 − (−3.3)·3 = 27.1
ŷ = 27.1 − 3.3·x
预测值
ŷ = 27.1 + (−3.3)·1.5 = 22.15
残差
e = 24 − 22.15 = 1.85
答案
e = 1.85
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 0.1832
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 60·35/100 = 21, 60·65/100 = 39
不吸烟者: 40·35/100 = 14, 40·65/100 = 26
卡方统计量
χ² = (20 − 21)²/21 + (40 − 39)²/39 + (15 − 14)²/14 + (25 − 26)²/26
χ² = 0.1832
答案
χ² = 0.1832
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 7.067
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 20, 20
生产线 2: 30, 30
生产线 3: 30, 30
卡方统计量
χ² = (22 − 20)²/20 + (18 − 20)²/20 + (22 − 30)²/30 + (38 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (24 − 30)²/30
χ² = 7.067
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
7.067 > 5.991
答案
χ² = 7.067
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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