描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在正偏态分布中（如收入）：
- A平均数和中位数总是相等
- B平均数大于中位数
- C没有极端分数
- D平均数小于中位数
2.心理学研究方法困难
一个自评量表发现，同意很多陈述的人不论内容如何都会得高分。这是哪种反应偏差？如何减少？
- A顺序效应；对参与者进行平衡抵消
- B社会赞许性偏差；使用更大的样本
- C默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
- D需求特征；使用双盲设计
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：20, 35, 30, 31, 49, 13。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。求成绩 68 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 8x = 68
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.25, 0.3, 0.2, 0.05
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.3 赢得 €12，以概率 0.01 赢得 €150；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€12: p = 0.3€150: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 398.2 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 398.2 kg
P =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分70%
x = 分
9.置信区间中等
测量 6 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 4，标准差为 6.3。 求平均差值的 99% 置信区间的下限。
n = 6d̄ = 4sd = 6.399%t(5) = 4.032
下限 = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 20E = 199%
n =
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 110.7，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 110.7s = 15n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 17。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 3σ = 17zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 111Σx² = 91Σy² = 2107Σxy = 360
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5.5 时的 ŷ。
n = 6x = 5.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 平均数大于中位数
为什么是这个答案
右尾中少数极高的值使平均数高于中位数，这就是偏态数据常报告中位数的原因。
答案
B · 平均数大于中位数
2.心理学研究方法
答案: C · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
为什么是这个答案
默认偏差是一种倾向于同意题目的倾向。混合正向和反向措辞的题目，意味着对一切都表示同意不再会产生极端分数。
答案
C · 默认（顺从）偏差；加入反向措辞的题目
3.描述统计
答案: s = 12.45
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 178/6 = 29.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−9.667)² + 5.333² + 0.3333² + 1.333² + 19.33² + (−16.67)² = 775.3
标准差
s = √(775.3/5) = 12.45
答案
s = 12.45
4.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (68 − 60)/8 = 1
答案
z = 1
5.概率
答案: σ = 1.152
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.3 + 4·0.2 + 5·0.05 = 2.65
平方的均值
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.3 + 16·0.2 + 25·0.05 = 8.35
方差
Var(X) = 8.35 − 2.65² = 1.327
σ = √1.327 = 1.152
答案
σ = 1.152
6.概率
答案: E(G) = 2.1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 9 (p = 0.3), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.69)
期望值
E(G) = 9·0.3 + 147·0.01 − 3·0.69 = 2.1 €
答案
E(G) = 2.1 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26.83 kg
标准化
z = (398.2 − 425)/26.83 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
8.正态分布
答案: x = 107.8 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 100 + 0.52·15 = 107.8 分
答案
x = 107.8 分
9.置信区间
答案: 下限 = −6.37 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·6.3/√6 = 10.37
区间
4 ± 10.37 → [−6.37, 14.37]
答案
下限 = −6.37 mmHg
10.置信区间
答案: n = 2655
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·20/1)² = 2654
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2655
答案
n = 2655
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
检验统计量
t = (110.7 − 120)/3 = −3.1
答案
t = −3.1
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 323
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·17/3)² = 322.3
向上取整
n = 323
答案
n = 323
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9314
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 360 − 21·111/6 = −28.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2107 − 111²/6 = 53.5
相关系数
r = −28.5/√(17.5·53.5) = −0.9314
答案
r = −0.9314
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 51.67
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 261/6 = 43.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71.5
回归直线
b = 71.5/17.5 = 4.086
a = 43.5 − 4.086·3.5 = 29.2
ŷ = 29.2 + 4.086·x
预测
ŷ = 29.2 + 4.086·5.5 = 51.67
答案
ŷ = 51.67
15.卡方检验
答案: χ² = 3.426
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 120·36/240 = 18, 120·96/240 = 48, 120·108/240 = 54
教职工: 120·36/240 = 18, 120·96/240 = 48, 120·108/240 = 54
卡方统计量
χ² = (17 − 18)²/18 + (42 − 48)²/48 + (61 − 54)²/54 + (19 − 18)²/18 + (54 − 48)²/48 + (47 − 54)²/54
χ² = 3.426
答案
χ² = 3.426
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 7.815
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815
答案
χ²crit = 7.815
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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