描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
哪种设计在每个条件中使用不同的参与者？
- A重复测量设计
- B用同一批人的配对设计
- C被试内设计
- D独立组设计
2.心理学研究方法困难
在定性研究中，反身性（reflexivity）是指研究者：
- A把主题转换为数值数据
- B重复研究以检验信度
- C反思自己的背景和假设可能如何影响分析
- D使用随机样本以消除偏差
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：19, 15, 26, 36, 59。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值高于 625 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 100x = 625
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.3
σ =
6.概率困难
测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.3
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.7813。求 z，保留两位小数。
A = 0.7813
z =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分85%
x = 分
9.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 2.9。 如果同一研究改用 25 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 100E₁ = 2.9n₂ = 25
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 14。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 14E = 599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −2，差值的标准差为 2.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 16d̄ = −2sd = 2.5
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 4。求最小样本量 n。
σ = 4E = 290%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 35Σy = 372Σx² = 285Σy² = 28544Σxy = 2784
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5 时的 ŷ。
n = 5x = 5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 90列合计 = 33N = 177
E =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 独立组设计
为什么是这个答案
独立组设计中每个条件的参与者不同，可避免顺序效应，但存在被试变量的风险。
答案
D · 独立组设计
2.心理学研究方法
答案: C · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
为什么是这个答案
反身性承认研究者对数据收集和解释的影响，是定性研究的一项关键质量标准。
答案
C · 反思自己的背景和假设可能如何影响分析
3.描述统计
答案: s = 17.56
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 155/5 = 31
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−12)² + (−16)² + (−5)² + 5² + 28² = 1234
标准差
s = √(1234/4) = 17.56
答案
s = 17.56
4.描述统计
答案: P = 0.1056
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
5.概率
答案: σ = 9.937
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.1 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.3 = 27.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.1 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.3 = 855
方差
Var(X) = 855 − 27.5² = 98.75
σ = √98.75 = 9.937
答案
σ = 9.937
6.概率
答案: P = 0.1493
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.710 = 0.02825
P(X = 1) = 10·0.3·0.79 = 0.1211
相加
P = 0.02825 + 0.1211 = 0.1493
答案
P = 0.1493
7.正态分布
答案: z = 1.23
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.7813)/2 = 0.8907
反向查 z 表
在表中找到 0.8907，读出 z。
z = 1.23
答案
z = 1.23
8.正态分布
答案: x = 54.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 65 − 1.04·10 = 54.6 分
答案
x = 54.6 分
9.置信区间
答案: E₂ = 5.8
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/25) = 2
新的误差范围
E₂ = 2.9·2 = 5.8
答案
E₂ = 5.8
10.置信区间
答案: n = 53
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·14/5)² = 52.02
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 53
答案
n = 53
11.假设检验与置信区间
答案: t = −3.2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 2.5/√16 = 0.625
检验统计量
t = −2/0.625 = −3.2
答案
t = −3.2
df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 11
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·4/2)² = 10.82
向上取整
n = 11
答案
n = 11
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9665
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2784 − 35·372/5 = 180
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 28544 − 372²/5 = 867.2
相关系数
r = 180/√(40·867.2) = 0.9665
答案
r = 0.9665
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 18.8
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 108/5 = 21.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
回归直线
b = 112/40 = 2.8
a = 21.6 − 2.8·6 = 4.8
ŷ = 4.8 + 2.8·x
预测
ŷ = 4.8 + 2.8·5 = 18.8
答案
ŷ = 18.8
15.卡方检验
答案: E = 16.78
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 90·33/177 = 16.78
答案
E = 16.78
16.卡方检验
答案: χ²crit = 15.51
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
表
χ²crit(df = 8, α = 0.05) = 15.507
答案
χ²crit = 15.507
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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