描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
当数据为顺序数据或明显不服从正态分布时，哪种检验用于比较两个独立组？
- A独立样本 t 检验
- B卡方检验
- CMann–Whitney U 检验
- DWilcoxon 符号秩检验
2.心理学研究方法困难
研究者比较三个或更多组的平均数。为什么用单因素方差分析而不是做多次 t 检验？
- At 检验需要质性数据
- B多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
- Ct 检验无法处理大于 100 的数字
- D方差分析总是比相应的一组 t 检验发现更大的效应
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 45, 60, 55, 60。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。求成绩 650 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 75x = 650
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.3, 0.35, 0.2
Var(X) =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.1€100: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 29 和 41 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 41
P =
8.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.置信区间中等
测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 8.5，标准差为 3.7。 求平均差值的 99% 置信区间的上限。
n = 11d̄ = 8.5sd = 3.799%t(10) = 3.169
上限 = mmHg
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 74.5 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：15 块地，均值 66 kg，标准差 1 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 6x̄₁ = 74.5s₁ = 2.5n₂ = 15x̄₂ = 66s₂ = 195%t(19) = 2.093
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 103.5，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 103.5s = 12n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12。实际上均值为 202.1。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 202.1σ = 12n = 64α = 0.05
β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 33Σy = 197Σx² = 199Σy² = 6629Σxy = 1134
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 26 时的 ŷ。
n = 6x = 26
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · Mann–Whitney U 检验
为什么是这个答案
Mann–Whitney U 检验比较两个无关组之间的秩次。Wilcoxon 符号秩检验用于相关样本。
答案
C · Mann–Whitney U 检验
2.心理学研究方法
答案: B · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
为什么是这个答案
做许多两两比较会成倍增加假阳性的机会。方差分析同时检验所有组，之后再进行经过校正的事后检验。
答案
B · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计
答案: s = 20.18
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 232/5 = 46.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−34.4)² + (−1.4)² + 13.6² + 8.6² + 13.6² = 1629
标准差
s = √(1629/4) = 20.18
答案
s = 20.18
4.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (650 − 500)/75 = 2
答案
z = 2
5.概率
答案: Var(X) = 0.94
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.2 = 1.6
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.2 = 3.5
方差
Var(X) = 3.5 − 1.6² = 0.94
答案
Var(X) = 0.94
6.概率
答案: E(G) = 1 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.1), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.88)
期望值
E(G) = 8·0.1 + 98·0.02 − 2·0.88 = 1 €
答案
E(G) = 1 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.6247
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5
z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5
中间面积
P = Φ(1.5) − Φ(−0.5) = 0.9332 − 0.3085 = 0.6247
答案
P = 0.6247
8.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
9.置信区间
答案: 上限 = 12.04 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 10, t = 3.169
误差范围
E = 3.169·3.7/√11 = 3.535
区间
8.5 ± 3.535 → [4.965, 12.04]
答案
上限 = 12.04 mmHg
10.置信区间
答案: 上限 = 10.06 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (5·2.5² + 14·1²)/19 = 2.382
sp = 1.543
误差范围
E = 2.093·1.543·√(1/6 + 1/15) = 1.56
区间
8.5 ± 1.56 → [6.94, 10.06]
答案
上限 = 10.06 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.917
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2
检验统计量
t = (103.5 − 100)/1.2 = 2.917
答案
t = 2.917
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: β = 59.68 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 200 + 1.645·1.5 = 202.5
真实均值下的 z
z = (202.5 − 202.1)/1.5 = 0.245
第二类错误
功效 = P(Z > 0.245) = 40.32%
β = 100% − 40.32% = 59.68%
答案
β = 59.68%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9519
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1134 − 33·197/6 = 50.5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 6629 − 197²/6 = 160.8
相关系数
r = 50.5/√(17.5·160.8) = 0.9519
答案
r = 0.9519
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 102.6
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 507/6 = 84.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 317
回归直线
b = 317/70 = 4.529
a = 84.5 − 4.529·22 = −15.13
ŷ = −15.13 + 4.529·x
预测
ŷ = −15.13 + 4.529·26 = 102.6
答案
ŷ = 102.6
15.卡方检验
答案: χ² = 4.121
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14
不吸烟者: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28
卡方统计量
χ² = (21 − 26)²/26 + (19 − 14)²/14 + (57 − 52)²/52 + (23 − 28)²/28
χ² = 4.121
答案
χ² = 4.121
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 11.07
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
答案
χ²crit = 11.070
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology