描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
比较两个独立组的平均数、且等距数据近似正态时，适合使用哪种检验？
- A独立样本 t 检验
- B卡方检验
- C皮尔逊相关
- D威尔科克森符号秩检验
2.心理学研究方法困难
比较四个组的单因素方差分析结果显著。为找出哪些组之间存在差异，研究者下一步应该做什么？
- A进行事后检验，如 Tukey HSD
- B把结果作为相关来报告
- C断定四个组彼此之间都有差异
- D对平均数进行卡方检验
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：53, 26, 25, 18, 33, 35。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 380 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 60x = 380
z =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 6
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.2Y = 3X + 4
σY =
7.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 224.3 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9< 224.3 kg
P =
8.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 26.5，标准差 s = 19。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 9x̄ = 26.5s = 1995%t(8) = 2.306
E =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 11 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：7 块地，均值 9.5 kg，标准差 1.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 7x̄₁ = 11s₁ = 2.5n₂ = 7x̄₂ = 9.5s₂ = 1.595%t(12) = 2.179
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 97.2，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 97.2s = 10n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 7.5。实际上均值为 201.65。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 201.65σ = 7.5n = 25α = 0.10
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 12 时的 ŷ。
n = 6x = 12
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 独立样本 t 检验
为什么是这个答案
独立样本 t 检验比较两个组的平均数。卡方检验用于频数；威尔科克森检验用于非参数数据的相关样本。
答案
A · 独立样本 t 检验
2.心理学研究方法
答案: A · 进行事后检验，如 Tukey HSD
为什么是这个答案
显著的 F 值表明并非所有平均数都相等。事后检验或计划对比可以在控制错误率的同时确定哪些组对之间存在差异。
答案
A · 进行事后检验，如 Tukey HSD
3.描述统计
答案: s = 12.09
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 190/6 = 31.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = 21.33² + (−5.667)² + (−6.667)² + (−13.67)² + 1.333² + 3.333² = 731.3
标准差
s = √(731.3/5) = 12.09
答案
s = 12.09
4.描述统计
答案: z = −2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (380 − 500)/60 = −2
答案
z = −2
5.概率
答案: P = 0.6651
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
答案
P = 0.6651
6.概率
答案: σY = 33.67
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 22, Var(X) = 126, σX = 11.22
线性变换
σY = |3|·11.22 = 33.67
答案
σY = 33.67
均值确实会改变：E(Y) = 3·22 + 4 = 70。
7.正态分布
答案: P = 0.3192
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 225 kg, σT = 0.5·√9 = 1.5 kg
标准化
z = (224.3 − 225)/1.5 = −0.47
概率
P = Φ(−0.47) = 0.3192
答案
P = 0.3192
8.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
9.置信区间
答案: E = 14.6
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·19/√9 = 14.6
答案
E = 14.6
10.置信区间
答案: 上限 = 3.901 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·2.5² + 6·1.5²)/12 = 4.25
sp = 2.062
误差范围
E = 2.179·2.062·√(1/7 + 1/7) = 2.401
区间
1.5 ± 2.401 → [−0.9011, 3.901]
答案
上限 = 3.901 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
检验统计量
t = (97.2 − 100)/2 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 42.78 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 200 + 1.282·1.5 = 201.9
真实均值下的 z
z = (201.9 − 201.65)/1.5 = 0.182
功率
功效 = P(Z > 0.182) = 42.78%
1 − β = 42.78%
答案
1 − β = 42.78%
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9961
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 689/6 = 114.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1953
决定系数
r² = 369²/(70·1953) = 0.9961
答案
r² = 0.9961
y 的变异中约有 99.61% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 121.9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 565/6 = 94.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 485
回归直线
b = 485/70 = 6.929
a = 94.17 − 6.929·8 = 38.74
ŷ = 38.74 + 6.929·x
预测
ŷ = 38.74 + 6.929·12 = 121.9
答案
ŷ = 121.9
15.卡方检验
答案: χ² = 1.397
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 100·66/220 = 30, 100·154/220 = 70
女性: 120·66/220 = 36, 120·154/220 = 84
卡方统计量
χ² = (34 − 30)²/30 + (66 − 70)²/70 + (32 − 36)²/36 + (88 − 84)²/84
χ² = 1.397
答案
χ² = 1.397
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 9.21
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
表
χ²crit(df = 2, α = 0.01) = 9.210
答案
χ²crit = 9.210
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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