描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项测验太容易，几乎所有参与者的得分都接近满分。这称为：
- A天花板效应
- B练习效应
- C顺序效应
- D地板效应
2.心理学研究方法困难
一名研究者发现冰淇淋销量与溺水死亡人数呈正相关。哪种解释最合理？
- A炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
- B冰淇淋导致溺水
- C这个相关一定是计算错误
- D溺水增加了冰淇淋销量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：38, 18, 43, 19, 54。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。求成绩 112 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 8x = 112
z =
5.概率中等
从 13 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 13k = 2
N =
6.概率困难
测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.4
P =
7.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 422 和 574 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 422x2 = 574
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 64.5，标准差 s = 8。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 20x̄ = 64.5s = 899%t(19) = 2.861
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 17E = 1.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 202.3，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 202.3s = 15n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ > 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 9。实际上均值为 103.6。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 103.6σ = 9n = 36α = 0.10
β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 36Σy = 420Σx² = 286Σy² = 32022Σxy = 2946
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (23, 66)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(23, 66)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1603 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 天花板效应
为什么是这个答案
天花板效应掩盖了各条件之间的差异，因为没有人能得更高的分。地板效应则相反，出现在任务太难时。
答案
A · 天花板效应
2.心理学研究方法
答案: A · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
为什么是这个答案
第三个变量——气温——导致了两者。这说明了为什么仅凭相关不能证明因果关系。
答案
A · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
3.描述统计
答案: s = 15.63
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 172/5 = 34.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 3.6² + (−16.4)² + 8.6² + (−15.4)² + 19.6² = 977.2
标准差
s = √(977.2/4) = 15.63
答案
s = 15.63
4.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (112 − 100)/8 = 1.5
答案
z = 1.5
5.概率
答案: N = 78
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78
答案
N = 78
6.概率
答案: P = 0.2333
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.66 = 0.04666
P(X = 1) = 6·0.4·0.65 = 0.1866
相加
P = 0.04666 + 0.1866 = 0.2333
答案
P = 0.2333
7.正态分布
答案: P = 0.9423
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (422 − 500)/40 = −1.95
z₂ = (574 − 500)/40 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.95) = 0.9678 − 0.02559 = 0.9423
答案
P = 0.9423
8.正态分布
答案: x = 173.3 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm
答案
x = 173.28 cm
9.置信区间
答案: 上限 = 69.62
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·8/√20 = 5.118
区间
64.5 ± 5.118 → [59.38, 69.62]
答案
上限 = 69.62
10.置信区间
答案: n = 494
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·17/1.5)² = 493.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 494
答案
n = 494
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.227
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875
检验统计量
t = (202.3 − 200)/1.875 = 1.227
答案
t = 1.227
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: β = 13.18 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 9/√36 = 1.5
x̄c = 100 + 1.282·1.5 = 101.9
真实均值下的 z
z = (101.9 − 103.6)/1.5 = −1.118
第二类错误
功效 = P(Z > −1.118) = 86.82%
β = 100% − 86.82% = 13.18%
答案
β = 13.18%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9944
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2946 − 36·420/6 = 426
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 32022 − 420²/6 = 2622
相关系数
r = 426/√(70·2622) = 0.9944
答案
r = 0.9944
14.线性回归与相关
答案: e = 2.4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 299/5 = 59.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
回归直线
b = 152/40 = 3.8
a = 59.8 − 3.8·22 = −23.8
ŷ = −23.8 + 3.8·x
预测值
ŷ = −23.8 + 3.8·23 = 63.6
残差
e = 66 − 63.6 = 2.4
答案
e = 2.4
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 20.45
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 100·99/180 = 55, 100·81/180 = 45
不吸烟者: 80·99/180 = 44, 80·81/180 = 36
卡方统计量
χ² = (70 − 55)²/55 + (30 − 45)²/45 + (29 − 44)²/44 + (51 − 36)²/36
χ² = 20.45
答案
χ² = 20.45
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 5.156
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 16, 24
生产线 2: 32, 48
生产线 3: 16, 24
卡方统计量
χ² = (19 − 16)²/16 + (21 − 24)²/24 + (35 − 32)²/32 + (45 − 48)²/48 + (10 − 16)²/16 + (30 − 24)²/24
χ² = 5.156
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
5.156 < 5.991
答案
χ² = 5.156
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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