描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在正偏态分布中（如收入）：
- A没有极端分数
- B平均数和中位数总是相等
- C平均数小于中位数
- D平均数大于中位数
2.心理学研究方法困难
实验中把参与者随机分配到各条件的主要目的是什么？
- A使样本能代表目标总体，从而使结果可以推广
- B确保参与者不知道研究目的
- C提高应答率
- D使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：43, 18, 12, 22, 54, 57。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值高于 56 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 10x = 56
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.35, 0.2, 0.1, 0.15
Var(X) =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.35, 0.1, 0.25Y = 10X − 3
σY =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 172.75 和 183.6 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 172.75x2 = 183.6
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 95%
x = cm
9.置信区间中等
基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 1.3。 如果同一研究改用 16 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 64E₁ = 1.3n₂ = 16
E₂ =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 72.5 kg，标准差 5.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 75.5 kg，标准差 7.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 6x̄₁ = 72.5s₁ = 5.5n₂ = 6x̄₂ = 75.5s₂ = 7.599%t(10) = 3.169
E = kg
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 15。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 253.09。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ > 250。求 p 值 p。
μ₀ = 250σ = 15n = 100x̄ = 253.09H₁: μ > μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 46。总体标准差为 20。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 46σ = 20n = 10090%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 119Σx² = 364Σy² = 2751Σxy = 996
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 20 时的 ŷ。
n = 6x = 20
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 11 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 11
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 平均数大于中位数
为什么是这个答案
右尾中少数极高的值使平均数高于中位数，这就是偏态数据常报告中位数的原因。
答案
D · 平均数大于中位数
2.心理学研究方法
答案: D · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
为什么是这个答案
随机分配平衡了各条件间的个体差异，支持因果结论；随机抽样则关系到向总体的推广。
答案
D · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
3.描述统计
答案: s = 19.46
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 206/6 = 34.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 8.667² + (−16.33)² + (−22.33)² + (−12.33)² + 19.67² + 22.67² = 1893
标准差
s = √(1893/5) = 19.46
答案
s = 19.46
4.描述统计
答案: P = 0.2743
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
5.概率
答案: Var(X) = 1.728
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.2 + 4·0.1 + 5·0.15 = 2.65
平方的均值
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.2 + 16·0.1 + 25·0.15 = 8.75
方差
Var(X) = 8.75 − 2.65² = 1.728
答案
Var(X) = 1.728
6.概率
答案: σY = 114.5
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 23, Var(X) = 131, σX = 11.45
线性变换
σY = |10|·11.45 = 114.5
答案
σY = 114.5
均值确实会改变：E(Y) = 10·23 − 3 = 227。
7.正态分布
答案: P = 0.5615
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (172.75 − 178)/7 = −0.75
z₂ = (183.6 − 178)/7 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−0.75) = 0.7881 − 0.2266 = 0.5615
答案
P = 0.5615
8.正态分布
答案: x = 189.5 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 178 + 1.645·7 = 189.51 cm
答案
x = 189.51 cm
9.置信区间
答案: E₂ = 2.6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(64/16) = 2
新的误差范围
E₂ = 1.3·2 = 2.6
答案
E₂ = 2.6
10.置信区间
答案: E = 12.03 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (5·5.5² + 5·7.5²)/10 = 43.25
sp = 6.576
误差范围
E = 3.169·6.576·√(1/6 + 1/6) = 12.03
答案
E = 12.03 kg
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.0197
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 15/√100 = 1.5
z = (253.09 − 250)/1.5 = 2.06
尾部面积
Φ(2.06) = 0.9803
1 − Φ(2.06) = 0.0197
p 值
p = 0.0197
答案
p = 0.0197
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 49.29
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·20/√100 = 3.29
区间端点
U = 46 + 3.29 = 49.29
答案
U = 49.29
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9855
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 996 − 42·119/6 = 163
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2751 − 119²/6 = 390.8
相关系数
r = 163/√(70·390.8) = 0.9855
答案
r = 0.9855
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 91.63
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 606/6 = 101
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 328
回归直线
b = 328/70 = 4.686
a = 101 − 4.686·22 = −2.086
ŷ = −2.086 + 4.686·x
预测
ŷ = −2.086 + 4.686·20 = 91.63
答案
ŷ = 91.63
15.卡方检验
答案: χ² = 11.9
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 120·54/180 = 36, 120·126/180 = 84
女性: 60·54/180 = 18, 60·126/180 = 42
卡方统计量
χ² = (46 − 36)²/36 + (74 − 84)²/84 + (8 − 18)²/18 + (52 − 42)²/42
χ² = 11.9
答案
χ² = 11.9
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 10
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 11 − 1 = 10
答案
df = 10
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