描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
要获得一个一、二、三年级学生比例与全校总体相同的样本，研究者应使用：
- A志愿者抽样
- B分层抽样
- C滚雪球抽样
- D机会抽样
2.心理学研究方法困难
实验中把参与者随机分配到各条件的主要目的是什么？
- A使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
- B确保参与者不知道研究目的
- C提高应答率
- D使样本能代表目标总体，从而使结果可以推广
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 50, 15, 25, 37, 58。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 79 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 15x = 79
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35
σ =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.35Y = 0.5X + 5
σY =
7.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 462 和 550 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 462x2 = 550
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 43，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 25x̄ = 43s = 1099%t(24) = 2.797
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 9。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 9E = 499%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：40 个零件的样本平均长度为 74 mm，该生产线的已知标准差为 14 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 80.5 mm，已知标准差为 7 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 40x̄₁ = 74 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 50x̄₂ = 80.5 mmσ₂ = 7 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 299%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 54？
n = 6ŷ = 54
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“城市，高”的期望频数 E。
行合计 = 117列合计 = 53N = 200
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 6 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 分层抽样
为什么是这个答案
分层抽样先识别子群体（层），再按其在总体中的规模比例从每层中随机抽样，使样本更具代表性。
答案
B · 分层抽样
2.心理学研究方法
答案: A · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
为什么是这个答案
随机分配平衡了各条件间的个体差异，支持因果结论；随机抽样则关系到向总体的推广。
答案
A · 使被试变量均匀分布，避免它们混淆结果
3.描述统计
答案: s = 19.21
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 195/6 = 32.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−22.5)² + 17.5² + (−17.5)² + (−7.5)² + 4.5² + 25.5² = 1846
标准差
s = √(1846/5) = 19.21
答案
s = 19.21
4.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (79 − 70)/15 = 0.6
答案
z = 0.6
5.概率
答案: σ = 0.8367
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7
方差
Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7
σ = √0.7 = 0.8367
答案
σ = 0.8367
6.概率
答案: σY = 0.5723
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.7, Var(X) = 1.31, σX = 1.145
线性变换
σY = |0.5|·1.145 = 0.5723
答案
σY = 0.5723
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.7 + 5 = 5.85。
7.正态分布
答案: P = 0.7233
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (462 − 500)/40 = −0.95
z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−0.95) = 0.8944 − 0.1711 = 0.7233
答案
P = 0.7233
8.正态分布
答案: P = 0.8264
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94
概率
P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264
答案
P = 0.8264
9.置信区间
答案: 上限 = 48.59
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.797
误差范围
E = 2.797·10/√25 = 5.594
区间
43 ± 5.594 → [37.41, 48.59]
答案
上限 = 48.59
10.置信区间
答案: n = 34
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·9/4)² = 33.59
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 34
答案
n = 34
11.假设检验与置信区间
答案: z = −2.681
假设检验：检验统计量 =（估计值 − H₀ 下的值）/（H₀ 下的标准误）。p 值是在假定 H₀ 为真时，统计量至少与观测值一样极端的概率：单侧 H₁ 取一个尾部的面积，双侧 H₁ 取尾部面积的两倍。当 p ≤ α 时拒绝 H₀。
差值的标准误
SE = √(14²/40 + 7²/50) = √5.88 = 2.425
检验统计量
z = (74 − 80.5)/2.425 = −2.681
答案
z = −2.681
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 239
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·12/2)² = 238.9
向上取整
n = 239
答案
n = 239
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9327
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 86/6 = 14.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55
Syy = Σ(y − ȳ)² = 185.3
决定系数
r² = −55²/(17.5·185.3) = 0.9327
答案
r² = 0.9327
y 的变异中约有 93.27% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: x = 2.452
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 403/6 = 67.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112.5
回归直线
b = 112.5/17.5 = 6.429
a = 67.17 − 6.429·4.5 = 38.24
ŷ = 38.24 + 6.429·x
解出 x
x = (54 − 38.24)/6.429 = 2.452
答案
x = 2.452
15.卡方检验
答案: E = 31
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 117·53/200 = 31
答案
E = 31
16.卡方检验
答案: χ²crit = 11.07
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
答案
χ²crit = 11.070
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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