描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
比较两个独立组的平均数、且等距数据近似正态时，适合使用哪种检验？
- A独立样本 t 检验
- B皮尔逊相关
- C卡方检验
- D威尔科克森符号秩检验
2.心理学研究方法困难
分析完数据后，研究者在撰写引言时把一个意外发现写得好像一开始就预测到了一样。这称为：
- A平衡抵消
- B事后说明
- CHARKing（结果已知后提出假设）
- D操作化
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：19, 58, 22, 45, 43。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值高于 75 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 12x = 75
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.05, 0.1, 0.25, 0.25
σ =
6.概率困难
测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.6
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3015。求 z，保留两位小数。
A = 0.3015
z =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 12 个个体的样本，均值为 71，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 12x̄ = 71s = 499%t(11) = 3.106
上限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：10 块地，平均产量 49 kg，标准差 8 kg。地块组 2：21 块地，均值 41 kg，标准差 8.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 10x̄₁ = 49s₁ = 8n₂ = 21x̄₂ = 41s₂ = 8.595%t(29) = 2.045
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 48，标准差 8.5。第 2 组：13 名学生，平均分 53.2，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 8x̄₁ = 48s₁ = 8.5n₂ = 13x̄₂ = 53.2s₂ = 4
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 75 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 26 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 26n₂ = 80
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 88Σx² = 364Σy² = 1536Σxy = 744
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 19 时的 ŷ。
n = 5x = 19
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 7 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 7
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 独立样本 t 检验
为什么是这个答案
独立样本 t 检验比较两个组的平均数。卡方检验用于频数；威尔科克森检验用于非参数数据的相关样本。
答案
A · 独立样本 t 检验
2.心理学研究方法
答案: C · HARKing（结果已知后提出假设）
为什么是这个答案
HARKing 把探索性结果当作验证性结果来呈现，使发现看起来比实际更可靠。它是重复危机的成因之一。
答案
C · HARKing（结果已知后提出假设）
3.描述统计
答案: s = 16.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 187/5 = 37.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−18.4)² + 20.6² + (−15.4)² + 7.6² + 5.6² = 1089
标准差
s = √(1089/4) = 16.5
答案
s = 16.5
4.描述统计
答案: P = 0.1056
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
5.概率
答案: σ = 1.643
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.05 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.25 = 2
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.05 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.25 = 6.7
方差
Var(X) = 6.7 − 2² = 2.7
σ = √2.7 = 1.643
答案
σ = 1.643
6.概率
答案: P = 0.00852
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.48 = 0.0006554
P(X = 1) = 8·0.6·0.47 = 0.007864
相加
P = 0.0006554 + 0.007864 = 0.00852
答案
P = 0.00852
7.正态分布
答案: z = 0.52
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.3015 = 0.6985
反向查 z 表
在表中找到 0.6985，读出 z。
z = 0.52
答案
z = 0.52
8.正态分布
答案: P = 0.9875
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24
概率
P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875
答案
P = 0.9875
9.置信区间
答案: 上限 = 74.59
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 11, t = 3.106
误差范围
E = 3.106·4/√12 = 3.586
区间
71 ± 3.586 → [67.41, 74.59]
答案
上限 = 74.59
10.置信区间
答案: 上限 = 14.56 kg
差值的区间：估计值 ± 临界值 × 标准误。对 σ 已知的两个独立均值：SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)，用 z。方差相等但未知时：用合并的 s_p 和自由度为 n₁ + n₂ − 2 的 t。对配对数据，用差值计算：d̄ ± t·s_d/√n。
合并标准差
sp² = (9·8² + 20·8.5²)/29 = 69.69
sp = 8.348
误差范围
E = 2.045·8.348·√(1/10 + 1/21) = 6.559
区间
8 ± 6.559 → [1.441, 14.56]
答案
上限 = 14.56 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.91
假设检验：检验统计量 =（估计值 − H₀ 下的值）/（H₀ 下的标准误）。p 值是在假定 H₀ 为真时，统计量至少与观测值一样极端的概率：单侧 H₁ 取一个尾部的面积，双侧 H₁ 取尾部面积的两倍。当 p ≤ α 时拒绝 H₀。
合并方差
sp² = (7·8.5² + 12·4²)/19 = 36.72
sp = 6.06
标准误
SE = 6.06·√(1/8 + 1/13) = 2.723
检验统计量
t = (48 − 53.2)/2.723 = −1.91
答案
t = −1.91
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: z = −1.349
假设检验：检验统计量 =（估计值 − H₀ 下的值）/（H₀ 下的标准误）。p 值是在假定 H₀ 为真时，统计量至少与观测值一样极端的概率：单侧 H₁ 取一个尾部的面积，双侧 H₁ 取尾部面积的两倍。当 p ≤ α 时拒绝 H₀。
样本比例
p̂₁ = 75/300 = 0.25
p̂₂ = 26/80 = 0.325
p̂ = 101/380 = 0.2658
H₀ 下的标准误
SE = √(0.2658·0.7342·(1/300 + 1/80)) = 0.05559
检验统计量
z = (0.25 − 0.325)/0.05559 = −1.349
答案
z = −1.349
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9767
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 744 − 42·88/6 = 128
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1536 − 88²/6 = 245.3
相关系数
r = 128/√(70·245.3) = 0.9767
答案
r = 0.9767
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 47.85
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 273/5 = 54.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
回归直线
b = 90/40 = 2.25
a = 54.6 − 2.25·22 = 5.1
ŷ = 5.1 + 2.25·x
预测
ŷ = 5.1 + 2.25·19 = 47.85
答案
ŷ = 47.85
15.卡方检验
答案: χ² = 23.5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
夜班: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
卡方统计量
χ² = (42 − 36)²/36 + (48 − 36)²/36 + (30 − 48)²/48 + (30 − 36)²/36 + (24 − 36)²/36 + (66 − 48)²/48
χ² = 23.5
答案
χ² = 23.5
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 = 6
答案
df = 6
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