描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在完全正态分布中：
- A平均数、中位数和众数相等
- B众数是最低分
- C大多数分数位于尾部
- D平均数总是大于中位数
2.心理学研究方法困难
一项记忆研究采用重复测量设计，每个人都先学习列表 A，再学习列表 B。列表 B 的回忆成绩更好。最可能的缺陷是什么？
- A各组之间的个体差异
- B使用了顺序测量水平
- C由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
- D样本量太大
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 53, 44, 24, 60, 28, 33。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。数值低于 34 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 20x = 34
P =
5.概率中等
袋中有 6 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
6 / 7
P =
6.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.4k = 3
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9660。求 z，保留两位小数。
A = 0.9660
z =
8.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm75%
x = cm
9.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3.4，标准差为 1.7。 求平均差值的 95% 置信区间的上限。
n = 7d̄ = 3.4sd = 1.795%t(6) = 2.447
上限 = mmHg
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p = 0.5E = 0.0199%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 7.5。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 76.97。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ < 80。求 p 值 p。
μ₀ = 80σ = 7.5n = 25x̄ = 76.97H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 16。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 2.5σ = 16zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (20.5, 48)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(20.5, 48)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 平均数、中位数和众数相等
为什么是这个答案
正态分布是对称的钟形，因此三种集中趋势指标都落在中心。
答案
A · 平均数、中位数和众数相等
2.心理学研究方法
答案: C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
为什么是这个答案
当所有参与者以相同顺序经历各条件时，成绩提高可能反映的是练习而不是列表本身。平衡抵消（ABBA，或一半 AB、一半 BA）可以控制这一问题。
答案
C · 由于没有进行平衡抵消，存在练习等顺序效应
3.描述统计
答案: s = 16.94
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 254/7 = 36.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−24.29)² + 16.71² + 7.714² + (−12.29)² + 23.71² + (−8.286)² + (−3.286)² = 1721
标准差
s = √(1721/6) = 16.94
答案
s = 16.94
4.描述统计
答案: P = 0.2119
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
答案
P = 0.2119
5.概率
答案: P = 0.1923
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923
答案
P = 0.1923
6.概率
答案: P = 0.2765
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 20·0.43·0.63 = 20·0.064·0.216 = 0.2765
答案
P = 0.2765
7.正态分布
答案: z = 2.12
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9660)/2 = 0.9830
反向查 z 表
在表中找到 0.9830，读出 z。
z = 2.12
答案
z = 2.12
8.正态分布
答案: x = 182.7 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
答案
x = 182.7 cm
9.置信区间
答案: 上限 = 4.972 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 2.447
误差范围
E = 2.447·1.7/√7 = 1.572
区间
3.4 ± 1.572 → [1.828, 4.972]
答案
上限 = 4.972 mmHg
10.置信区间
答案: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.01² = 16589
向上取整
n = 16590
答案
n = 16590
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.02169
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 7.5/√25 = 1.5
z = (76.97 − 80)/1.5 = −2.02
尾部面积
Φ(2.02) = 0.9783
1 − Φ(2.02) = 0.0217
p 值
p = 0.02169
答案
p = 0.02169
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 254
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·16/2.5)² = 253.3
向上取整
n = 254
答案
n = 254
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.8969
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 312/6 = 52
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76
Syy = Σ(y − ȳ)² = 368
决定系数
r² = 76²/(17.5·368) = 0.8969
答案
r² = 0.8969
y 的变异中约有 89.69% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = 3.95
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 241/5 = 48.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249
回归直线
b = 249/90 = 2.767
a = 48.2 − 2.767·22 = −12.67
ŷ = −12.67 + 2.767·x
预测值
ŷ = −12.67 + 2.767·20.5 = 44.05
残差
e = 48 − 44.05 = 3.95
答案
e = 3.95
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 27.43
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30
女性: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24
卡方统计量
χ² = (86 − 70)²/70 + (14 − 30)²/30 + (40 − 56)²/56 + (40 − 24)²/24
χ² = 27.43
答案
χ² = 27.43
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 20.09
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
表
χ²crit(df = 8, α = 0.01) = 20.090
答案
χ²crit = 20.090
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology