描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项研究进行了预注册。这意味着：
- A该研究已经发表
- B结果在发表前由第二位独立的统计学家核查并批准
- C在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
- D参与者在网上登记同意
2.心理学研究方法困难
一项研究发现睡眠多的学生成绩更高。哪种设计改变最能支持因果结论？
- A把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
- B更准确地测量成绩
- C调查更多学生
- D让学生报告两次睡眠情况，并取两次报告的平均值
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：35, 12, 28, 46, 29, 10, 25。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 58 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 15x = 58
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.25, 0.2, 0.2, 0.3
σ =
6.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.25k = 1
P =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 167.85 和 188.5 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 167.85x2 = 188.5
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 5.5，标准差为 1.7。 求平均差值的 95% 置信区间的上限。
n = 12d̄ = 5.5sd = 1.795%t(11) = 2.201
上限 = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 14。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 14E = 2.599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 52.13，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 52.13s = 10n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 2.5。实际上均值为 48.3。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 50μ = 48.3σ = 2.5n = 25α = 0.05
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (8, 81)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(8, 81)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 8 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 8
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
为什么是这个答案
预注册把验证性分析与探索性分析区分开来，减少 p 值操纵（p-hacking）和事后提出假设（HARKing）等做法。
答案
C · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
2.心理学研究方法
答案: A · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
为什么是这个答案
只有通过随机分配来操纵睡眠，才能控制第三变量，并在伦理允许的范围内做出因果推断。
答案
A · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
3.描述统计
答案: s = 12.55
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 185/7 = 26.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 8.571² + (−14.43)² + 1.571² + 19.57² + 2.571² + (−16.43)² + (−1.429)² = 945.7
标准差
s = √(945.7/6) = 12.55
答案
s = 12.55
4.描述统计
答案: z = −0.8
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (58 − 70)/15 = −0.8
答案
z = −0.8
5.概率
答案: σ = 1.284
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.05 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.2 + 4·0.3 = 2.45
平方的均值
E(X²) = 0·0.05 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.2 + 16·0.3 = 7.65
方差
Var(X) = 7.65 − 2.45² = 1.647
σ = √1.647 = 1.284
答案
σ = 1.284
6.概率
答案: P = 0.2253
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 9·0.251·0.758 = 9·0.25·0.1001 = 0.2253
答案
P = 0.2253
7.正态分布
答案: P = 0.8597
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45
z₂ = (188.5 − 178)/7 = 1.5
中间面积
P = Φ(1.5) − Φ(−1.45) = 0.9332 − 0.07353 = 0.8597
答案
P = 0.8597
8.正态分布
答案: P = 0.9452
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6
概率
P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452
答案
P = 0.9452
9.置信区间
答案: 上限 = 6.58 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 11, t = 2.201
误差范围
E = 2.201·1.7/√12 = 1.08
区间
5.5 ± 1.08 → [4.42, 6.58]
答案
上限 = 6.58 mmHg
10.置信区间
答案: n = 209
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·14/2.5)² = 208.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 209
答案
n = 209
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.704
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25
检验统计量
t = (52.13 − 50)/1.25 = 1.704
答案
t = 1.704
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 96.04 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 2.5/√25 = 0.5
x̄c = 50 − 1.645·0.5 = 49.18
真实均值下的 z
z = (49.18 − 48.3)/0.5 = 1.755
功率
功效 = P(Z < 1.755) = 96.04%
1 − β = 96.04%
答案
1 − β = 96.04%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9691
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 599/5 = 119.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1611
相关系数
r = 246/√(40·1611) = 0.9691
答案
r = 0.9691
14.线性回归与相关
答案: e = −4.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 351/5 = 70.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206
回归直线
b = 206/40 = 5.15
a = 70.2 − 5.15·5 = 44.45
ŷ = 44.45 + 5.15·x
预测值
ŷ = 44.45 + 5.15·8 = 85.65
残差
e = 81 − 85.65 = −4.65
答案
e = −4.65
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 25.86
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 120·99/180 = 66, 120·81/180 = 54
女性: 60·99/180 = 33, 60·81/180 = 27
卡方统计量
χ² = (50 − 66)²/66 + (70 − 54)²/54 + (49 − 33)²/33 + (11 − 27)²/27
χ² = 25.86
答案
χ² = 25.86
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 7
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 = 7
答案
df = 7
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