描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在内容分析中，评分者间信度是如何检验的？
- A在同一天内对材料编码两次
- B让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
- C使用更大的材料样本
- D事后询问参与者研究者对其材料的编码是否正确
2.心理学研究方法困难
一项元分析综合了某种疗法的 40 项研究。为什么其总体效应量仍可能过大？
- A综合多项研究总能消除所有偏差
- B由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
- C元分析不能纳入随机对照试验
- D元分析得出的效应总是小于其所纳入的单项研究
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：53, 23, 32, 34, 56, 15。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值高于 45 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 5x = 45
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 5 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 5
P =
6.概率困难
测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.6
P =
7.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 76.75 和 118.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 76.75x2 = 118.75
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 12 个个体的样本，均值为 22，标准差 s = 6.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 12x̄ = 22s = 6.595%t(11) = 2.201
E =
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.04？
p = 0.5E = 0.0499%
n =
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 62，标准差 3.5。第 2 组：7 名学生，平均分 67.5，标准差 7。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 5x̄₁ = 62s₁ = 3.5n₂ = 7x̄₂ = 67.5s₂ = 7
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 4σ = 15zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 77Σx² = 55Σy² = 1275Σxy = 203
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 6x = 3.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 8 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
为什么是这个答案
如果独立的编码者对相同数据给出相似的编码（一致性或相关性高），说明编码方案具有信度。
答案
B · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
2.心理学研究方法
答案: B · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
为什么是这个答案
如果零结果较少被发表，合并效应就会被夸大。漏斗图和检索未发表数据有助于发现并减少这一问题。
答案
B · 由于发表偏倚，未发表的零结果研究可能缺失
3.描述统计
答案: s = 16.23
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 213/6 = 35.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = 17.5² + (−12.5)² + (−3.5)² + (−1.5)² + 20.5² + (−20.5)² = 1318
标准差
s = √(1318/5) = 16.23
答案
s = 16.23
4.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
5.概率
答案: P = 0.5981
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
答案
P = 0.5981
6.概率
答案: P = 0.04096
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.46 = 0.004096
P(X = 1) = 6·0.6·0.45 = 0.03686
相加
P = 0.004096 + 0.03686 = 0.04096
答案
P = 0.04096
7.正态分布
答案: P = 0.8338
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (76.75 − 100)/15 = −1.55
z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−1.55) = 0.8944 − 0.06057 = 0.8338
答案
P = 0.8338
8.正态分布
答案: x = 182.7 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
答案
x = 182.7 cm
9.置信区间
答案: E = 4.13
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 11, t = 2.201
误差范围
E = 2.201·6.5/√12 = 4.13
答案
E = 4.13
10.置信区间
答案: n = 1037
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.04² = 1037
向上取整
n = 1037
答案
n = 1037
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.604
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (4·3.5² + 6·7²)/10 = 34.3
sp = 5.857
标准误
SE = 5.857·√(1/5 + 1/7) = 3.429
检验统计量
t = (62 − 67.5)/3.429 = −1.604
答案
t = −1.604
df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 121
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·15/4)² = 120.5
向上取整
n = 121
答案
n = 121
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9375
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 203 − 15·77/5 = −28
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1275 − 77²/5 = 89.2
相关系数
r = −28/√(10·89.2) = −0.9375
答案
r = −0.9375
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 28.36
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 183/6 = 30.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37.5
回归直线
b = 37.5/17.5 = 2.143
a = 30.5 − 2.143·4.5 = 20.86
ŷ = 20.86 + 2.143·x
预测
ŷ = 20.86 + 2.143·3.5 = 28.36
答案
ŷ = 28.36
15.卡方检验
答案: χ² = 7.273
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 40·36/80 = 18, 40·44/80 = 22
安慰剂: 40·36/80 = 18, 40·44/80 = 22
卡方统计量
χ² = (12 − 18)²/18 + (28 − 22)²/22 + (24 − 18)²/18 + (16 − 22)²/22
χ² = 7.273
答案
χ² = 7.273
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 16.81
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 − 1 = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812
答案
χ²crit = 16.812
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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