描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
最直接减少实验者偏差的方法是：
- A只使用志愿者
- B由不知道假设或条件的研究者收集数据
- C使用单侧假设
- D使用更大的样本
2.心理学研究方法困难
因焦虑分数极高而被选中的患者，即使没有接受治疗，在第二次测验时分数也降低了。最可能的解释是什么？
- A平衡抵消
- B向平均数回归
- C天花板效应
- D霍桑效应
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 35, 56, 39, 59, 29。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值高于 82 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 15x = 82
P =
5.概率中等
从 13 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 13k = 3
N =
6.概率困难
一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.3k = 3
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.7019。求 z，保留两位小数。
A = 0.7019
z =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 10.8。 用同样的数据计算 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 100E₁ = 10.899%
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 18E = 2.599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 197.4，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 197.4s = 10n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 38 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 3 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 38n₁ = 250x₂ = 3n₂ = 100
z =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 8)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5, 8)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1403 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 由不知道假设或条件的研究者收集数据
为什么是这个答案
知道假设的实验者可能无意中影响参与者或记录。单盲或双盲程序以及标准化指导语可以减少这种偏差。
答案
B · 由不知道假设或条件的研究者收集数据
2.心理学研究方法
答案: B · 向平均数回归
为什么是这个答案
当人们因极端分数而被选中时，测量误差和偶然因素使他们以后的分数倾向于向平均数靠拢。控制组有助于把这种现象与治疗效果区分开来。
答案
B · 向平均数回归
3.描述统计
答案: s = 18.11
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 228/6 = 38
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−28)² + (−3)² + 18² + 1² + 21² + (−9)² = 1640
标准差
s = √(1640/5) = 18.11
答案
s = 18.11
4.描述统计
答案: P = 0.8849
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
答案
P = 0.8849
5.概率
答案: N = 286
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286
答案
N = 286
6.概率
答案: P = 0.2568
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 165·0.33·0.78 = 165·0.027·0.05765 = 0.2568
答案
P = 0.2568
7.正态分布
答案: z = −0.53
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.7019 = 0.2981
反向查 z 表
在表中找到 0.2981，读出 z。
z = −0.53
答案
z = −0.53
8.正态分布
答案: P = 0.8133
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89
概率
P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133
答案
P = 0.8133
9.置信区间
答案: E₂ = 16.91
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(100/100) = 1.566
新的误差范围
E₂ = 10.8·1.566 = 16.91
答案
E₂ = 16.91
10.置信区间
答案: n = 344
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·18/2.5)² = 344
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 344
答案
n = 344
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
检验统计量
t = (197.4 − 200)/1 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = 3.206
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 38/250 = 0.152
p̂₂ = 3/100 = 0.03
p̂ = 41/350 = 0.1171
H₀ 下的标准误
SE = √(0.1171·0.8829·(1/250 + 1/100)) = 0.03805
检验统计量
z = (0.152 − 0.03)/0.03805 = 3.206
答案
z = 3.206
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9511
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 251/6 = 41.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 88.83
相关系数
r = 37.5/√(17.5·88.83) = 0.9511
答案
r = 0.9511
14.线性回归与相关
答案: e = −1.681
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 85/6 = 14.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 157
回归直线
b = 157/70 = 2.243
a = 14.17 − 2.243·7 = −1.533
ŷ = −1.533 + 2.243·x
预测值
ŷ = −1.533 + 2.243·5 = 9.681
残差
e = 8 − 9.681 = −1.681
答案
e = −1.681
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 24.58
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48
夜班: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24
卡方统计量
χ² = (38 − 36)²/36 + (48 − 36)²/36 + (34 − 48)²/48 + (16 − 18)²/18 + (6 − 18)²/18 + (38 − 24)²/24
χ² = 24.58
答案
χ² = 24.58
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 1.467
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 30, 10
生产线 2: 30, 10
生产线 3: 45, 15
卡方统计量
χ² = (32 − 30)²/30 + (8 − 10)²/10 + (31 − 30)²/30 + (9 − 10)²/10 + (42 − 45)²/45 + (18 − 15)²/15
χ² = 1.467
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
1.467 < 5.991
答案
χ² = 1.467
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology