静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−7, 3, −2) 与 b = (−4, −3, 6) 的点积 a·b。

a = (−7, 3, −2)b = (−4, −3, 6)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−6, 2, −1) 和 b = (3, −3, 5)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)_y。

a = (−6, 2, −1)b = (3, −3, 5)

(a × b)_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 55 kN 位于 2 mP₂ = 40 kN 位于 4 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 50°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 4 mP = 30 kN 位于 3.5 m, θ = 50°Q = 25 kN 位于 2 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 6 kNAD = 1.2 mAB = 4 mAC = 1 m

A = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 2.4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.5 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 20 kNAB = 4 mC 的高度 = 2.4 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.5 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 55 kN 位于 2.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 240 mm 的板有一个宽 60 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mm切口: 60 × 50 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 7

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−7)·(−4) + 3·(−3) + (−2)·6 = 28 + (−9) + (−12) = 7

答案

a·b = 7

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_y = 27

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·5 − (−1)·(−3) = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·3 − (−6)·5 = 27

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·(−3) − 2·3 = 12

所求分量

(a × b)_y = 27

答案

(a × b)_y = 27

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = 61.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·2 + 40·4

R_B = 270/8 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 33.75 = 61.25 kN

答案

R_A = 61.25 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 24.66 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 30·sin 50° = 22.98 kN

P_h = 30·cos 50° = 19.28 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·4 = 22.98·3.5 + 25·2 → R_B = 32.61 kN

A_y = 22.98 + 25 − 32.61 = 15.37 kN

A_x = P_h = 19.28 kN

A 处的合力

R_A = √(19.28² + 15.37²) = 24.66 kN

答案

R_A = 24.66 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −21.96 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·1 → C_y = 4.167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 4.167 = 20.83 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20.83/0.9487 = −21.96 kN

答案

F_AB = −21.96 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −37.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 − 25·3 → C_y = 20.83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 20.83 = 19.17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −19.17/0.5145 = −37.25 kN

答案

F_AB = −37.25 kN (受压)

7.框架与机器

答案: A = 27.78 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 6·4/(0.6402·1.2) = 31.24 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 24 kN （指向墙）

A_y = 6 − F_CD·sin α = −14 kN

模

A = √(24² + −14²) = 27.78 kN

答案

A = 27.78 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: C = 4.859 kN

B 处的支座反力

B_y = 20·0.5/4 = 2.5 kN

拉杆力

T = 2.5·2/1.2 = 4.167 kN

BC 上的销钉力

C_x = 4.167 kN, C_y = −2.5 kN

C = √(4.167² + 2.5²) = 4.859 kN

答案

C = 4.859 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 6·3 − 2·3·1.5 = 9 kN·m

答案

M_x = 9 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 100 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2.5 + 10·5·2.5

R_B = 262.5/5 = 52.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 52.5 = 52.5 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 52.5·2.5 − 10·2.5·1.25 = 100 kN·m

答案

M_x = 100 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.92 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 706.9·60)/(15000 − 706.9) = 75.74 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·−0.7418² = 28.13 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−15.74² = 0.2149 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 27.92 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.92 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 112.6 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (24000·120 − 3000·96)/(24000 − 3000) = 123.4 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·−3.429² = 115.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·50³/12 + 3000·−27.43² = 2.882 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 112.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 112.6 × 10⁶ mm⁴

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