静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求向量 a = (−3, −5, 6) 与 b = (6, 1, −6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−3, −5, 6)b = (6, 1, −6)
θ = °
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

单位向量 n̂ 与 a = (5, 4, 4) 和 b = (−3, 3, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂x。

a = (5, 4, 4)b = (−3, 3, 2)n̂z > 0
n̂x =
3.梁的支座反力中等
P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1.5 m2.5 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 6 mP1 = 40 kN 位于 1.5 mP2 = 20 kN 位于 4 m
RB = kN
4.梁的支座反力困难
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​1 m1.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 15 kN 位于 2.5 mw = 12 kN/m，从 1 到 4 m
RA = kN
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB20 kN8 m2 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 20 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH20 kN35 kN10 kN40 kN15 kN30 kN4 × 4 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 BG
  13. 13杆件 DG
7.框架与机器中等
15 kN8 m4 m3.6 mABCK

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 在地面之上 4 m，且位于 A 右侧 3.6 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 2.16 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 FBC。

P = 15 kNL = 8 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 3.6 mA 到 K 的水平距离 = 2.16 m
FBC = kN
8.框架与机器困难
4 kN1 kN2.5 m4 mABC

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 4 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 4 kNWb = 1 kNAB = 2.5 mAC = 4 m
A = kN
9.剪力和弯矩中等
40 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 4 m45 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mP = 55 kNAB截面1 m7 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 55 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.形心和惯性矩中等
2201510014x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
1402530020x负弯矩 M尺寸单位为 mm

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 120 MPa。 求梁能承受的最大负弯矩 Mallow（给出其大小）。

bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 300 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 145.6 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−3)·6 + (−5)·1 + 6·(−6) = −59

模

|a| = √((−3)² + (−5)² + 6²) = 8.367
|b| = √(6² + 1² + (−6)²) = 8.544

相角

cos θ = −59/(8.367·8.544) = −0.8254
θ = arccos(−0.8254) = 145.6°

答案

θ = 145.6°
2.向量：点积和叉积

答案: n̂x = −0.1141

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)x = aybz − azby = 4·2 − 4·3 = −4
(a × b)y = azbx − axbz = 4·(−3) − 5·2 = −22
(a × b)z = axby − aybx = 5·3 − 4·(−3) = 27

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−4)² + (−22)² + 27²) = 35.06
n̂ = (−4, −22, 27)/35.06 = (−0.1141, −0.6275, 0.7702)
n̂x = −0.1141

答案

n̂x = −0.1141
3.梁的支座反力

答案: RB = 23.33 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1.5 m2.5 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 40·1.5 + 20·4
RB = 140/6 = 23.33 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 23.33 = 36.67 kN

答案

RB = 23.33 kN
4.梁的支座反力

答案: RA = 19.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​RB​1 m1.5 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·2.5 + 12·3·2.5
RB = 127.5/4 = 31.88 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 31.88 = 19.13 kN

答案

RA = 19.13 kN
5.桁架：节点法

答案: FBC = −9.014 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.5547 = −9.014 kN

答案

FBC = −9.014 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 50.83 kN (T), BC: 91.67 kN (T), CD: 91.67 kN (T), DE: 79.17 kN (T), FG: 80.83 kN (C), GH: 109.2 kN (C), AF: 101 kN (C), HE: 98.96 kN (C), BF: 50.63 kN (T), CG: 0, DH: 44.38 kN (T), BG: 51.04 kN (C), DG: 15.63 kN (C)

答案

零杆: CG
7.框架与机器

答案: FBC = 6.021 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(4.4² + 4²) = 5.946 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

FBC·(4/5.946)·8 = 15·2.16
FBC = 6.021 kN （压缩）

答案

FBC = 6.021 kN
8.框架与机器

答案: A = 2.857 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (4 + 1/2)/0.848 = 5.307 kN

A 处的分量

Ax = T·cos β = 2.813 kN
Ay = 4 + 1 − T·sin β = 0.5 kN

模

A = √(2.813² + 0.5²) = 2.857 kN

答案

A = 2.857 kN
9.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 50.83 kN, R2 = 34.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 50.83, MC = 56.67, MD = 62.5, ME = 68.33 kN·m, MF = 34.17, MG = 0

答案

标记点 E: ME = 68.33 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: Mx = 83.13 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·1 + 10·8·4
RB = 375/8 = 46.88 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 46.88 = 88.13 kN
w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​ = 88.13RB​ = 46.88截面1 m7 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 88.13·1 − 10·1·0.5 = 83.13 kN·m

答案

Mx = 83.13 kN·m
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 4.479 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 100 + 15/2 = 107.5 mm
腹板: Aw = 14·100 = 1400 mm², yw = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·107.5 + 1400·50)/4700 = 90.37 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·15³/12 + 3300·(107.5 − 90.37)² = 1.03 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·100³/12 + 1400·(50 − 90.37)² = 3.449 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.03 × 10⁶ + 3.449 × 10⁶ = 4.479 × 10⁶ mm⁴ = 4.479 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 4.479 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: Mallow = 53.97 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (3500·312.5 + 6000·150)/9500 = 209.9 mm
上边缘: c = 325 − 209.9 = 115.1 mm

惯性矩

I = 140·25³/12 + 3500·102.6² + 20·300³/12 + 6000·59.87² = 1.036 × 10⁸ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 60·1.036 × 10⁸/115.1 = 53.97 kN·m
下边缘: M = 120·1.036 × 10⁸/209.9 = 59.21 kN·m

控制值

Mallow = min = 53.97 kN·m (上边缘)

答案

Mallow = 53.97 kN·m

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