静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (5, −4, 7) 与 b = (3, −6, −3) 的点积 a·b。

a = (5, −4, 7)b = (3, −6, −3)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (0, 2, −4)、b = (3, −2, 1) 和 c = (−1, −5, −5)。

a = (0, 2, −4)b = (3, −2, 1)c = (−1, −5, −5)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 10 kN 位于 3.5 mP₂ = 15 kN 位于 4.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 50 kN 位于 2 mw = 12 kN/m，从 1 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓C: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 8° 角。B 处施加 150 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 150 Nθ = 8°

Q = N

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 6 kNW_b = 2 kNAB = 5 mAC = 2 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 1 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 45 kN·m，没有其他荷载。求力偶右侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mM₀ = 45 kN·m 顺时针，作用于 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 6 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

x_c = m

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 110 mm、厚 14 mm，总高度 220 mm，腹板厚 12 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 20 kN·m。求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σ_j 的大小。

B = 110 mmH = 220 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mmM = 20 kN·m

σ_j = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 18

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

对应分量相乘再相加

a·b = 5·3 + (−4)·(−6) + 7·(−3) = 15 + 24 + (−21) = 18

答案

a·b = 18

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 96

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·(−5) − 1·(−5) = 15

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·(−1) − 3·(−5) = 14

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·(−5) − (−2)·(−1) = −17

与 a 的点积

a·(b × c) = 0·15 + 2·14 + (−4)·(−17) = 96

V = |96| = 96

答案

V = 96

3.梁的支座反力

答案: R_B = 17.08 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·3.5 + 15·4.5

R_B = 102.5/6 = 17.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 17.08 = 7.917 kN

答案

R_B = 17.08 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 44.4 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 12·2·2

R_B = 148/5 = 29.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 29.6 = 44.4 kN

答案

R_A = 44.4 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 31.25 kN (T), BC: 31.25 kN (T), CD: 28.75 kN (T), DE: 28.75 kN (T), FG: 42.5 kN (C), GH: 42.5 kN (C), AF: 44.19 kN (C), HE: 40.66 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 15.91 kN (T), HC: 19.45 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −10.61 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·5 − 30·3 → C_y = 7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 7.5 = 22.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7.5/0.7071 = −10.61 kN

答案

F_BC = −10.61 kN (受压)

7.框架与机器

答案: Q = 533.7 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 8° = 150

F_link = 538.9 N

夹紧力

Q = F_link·cos 8° = 150/(2·tan 8°) = 533.7 N

答案

Q = 533.7 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 3.558 会无限增大。

8.框架与机器

答案: T = 18.85 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(5² + 2²) = 5.385 m, sin β = 0.3714

对 A 取矩

T·0.3714·5 = 6·5 + 2·2.5

T = 18.85 kN

答案

T = 18.85 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 33.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 45/4 = 11.25 kN (向上)

R_A = −R_B = −11.25 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 R_A 和力偶。

M_x = R_A·a + M₀ = −11.25·1 + 45 = 33.75 kN·m

答案

M_x = 33.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x_c = 4.8 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·6·3

R_B = 54/5 = 10.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10.8 = 7.2 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·7.2/3 = 4.8 m

答案

x_c = 4.8 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 26.67 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 1963·52.5)/(15000 − 1963) = 78.39 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·−3.389² = 28.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−25.89² = 1.623 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 26.67 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 26.67 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_j = 48.24 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 220 − 2·14 = 192 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·220³ − 98·192³)/12

I_x = 3.98 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

y = 110 − 14 = 96 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·96/3.98 × 10⁷ = 48.24 MPa

答案

σ_j = 48.24 MPa

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