静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−1, 5, 0) 与 b = (6, −5, −2) 的点积 a·b。

a = (−1, 5, 0)b = (6, −5, −2)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−2, 1, −4)、b = (5, 1, 4) 和 c = (−5, −4, 0)。

a = (−2, 1, −4)b = (5, 1, 4)c = (−5, −4, 0)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 30 kN 位于 1 mP₂ = 15 kN 位于 1.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 50 kN 位于 6 mw = 10 kN/m，从 2 到 8 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 25 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 在地面之上 4 m，且位于 A 右侧 1.35 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.012 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 15 kNL = 3 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 1.35 mA 到 K 的水平距离 = 1.012 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 4 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 4 kNW_b = 0.5 kNAB = 6 mAC = 4 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 mx = 5.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 40 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 40 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mm切口: 40 × 30 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −31

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

对应分量相乘再相加

a·b = (−1)·6 + 5·(−5) + 0·(−2) = (−6) + (−25) + 0 = −31

答案

a·b = −31

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 8

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·0 − 4·(−4) = 16

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·(−5) − 5·0 = −20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·(−4) − 1·(−5) = −15

与 a 的点积

a·(b × c) = (−2)·16 + 1·(−20) + (−4)·(−15) = 8

V = |8| = 8

答案

V = 8

3.梁的支座反力

答案: R_B = 10.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1 + 15·1.5

R_B = 52.5/5 = 10.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 10.5 = 34.5 kN

答案

R_B = 10.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 60 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·6 + 10·6·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 60 = 50 kN

答案

R_B = 60 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.5 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 45.96 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 24.75 kN (T), HC: 3.536 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_AB = 7.454 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·4 + 25·2 → C_y = 18.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 18.33 = −3.333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−3.333/0.4472 = 7.454 kN

答案

F_AB = 7.454 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_BC = 5.476 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(1.65² + 4²) = 4.327 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(4/4.327)·3 = 15·1.012

F_BC = 5.476 kN （压缩）

答案

F_BC = 5.476 kN

8.框架与机器

答案: A = 6.38 kN

缆绳拉力

T = (4 + 0.5/2)/0.5547 = 7.662 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 6.375 kN

A_y = 4 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(6.375² + 0.25²) = 6.38 kN

答案

A = 6.38 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 20.63 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 12·5.5 − 3·5.5·2.75 = 20.63 kN·m

答案

M_x = 20.63 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 72 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2 + 8·5·2.5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 36 = 44 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 44·2 − 8·2·1 = 72 kN·m

答案

M_x = 72 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 706.9·105)/(30000 − 706.9) = 151.1 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·−1.086² = 225 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−46.09² = 1.541 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 137.4 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (28800·120 − 1200·144)/(28800 − 1200) = 119 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·1.043² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·30³/12 + 1200·25.04² = 0.8426 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 137.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 137.4 × 10⁶ mm⁴

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