静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−5, −1, 1) 与 b = (−7, −2, 6) 的点积 a·b。

a = (−5, −1, 1)b = (−7, −2, 6)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−1, 5, −6) 和 b = (2, 1, −5)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (−1, 5, −6)b = (2, 1, −5)

(a × b)_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 40 kN 位于 3 mP₂ = 10 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 50 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 2 到 5 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 25 kN ↓F: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 6 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 2.7 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.35 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 15 kNL = 6 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 2.7 mA 到 K 的水平距离 = 1.35 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 0.75 m）。梁在全长上承受 1.5 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 15 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 1.5 kN/mP = 15 kNAD = 0.6 mAB = 1.5 mAC = 0.75 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 mx = 4.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP = 50 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 6 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 130 mm、厚 20 mm，总高度 240 mm，腹板厚 14 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 50 kN·m。求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σ_j 的大小。

B = 130 mmH = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 43

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

对应分量相乘再相加

a·b = (−5)·(−7) + (−1)·(−2) + 1·6 = 35 + 2 + 6 = 43

答案

a·b = 43

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = −19

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−5) − (−6)·1 = −19

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·2 − (−1)·(−5) = −17

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·1 − 5·2 = −11

所求分量

(a × b)_x = −19

答案

(a × b)_x = −19

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = 33 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·3 + 10·5

R_B = 170/10 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 17 = 33 kN

答案

R_A = 33 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 44.17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 2·3·3.5

R_B = 71/6 = 11.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 11.83 = 44.17 kN

答案

R_A = 44.17 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 28.75 kN (T), BC: 28.75 kN (T), CD: 56.25 kN (T), DE: 56.25 kN (T), FG: 47.5 kN (C), GH: 47.5 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 79.55 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 26.52 kN (T), HC: 12.37 kN (C)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 33.33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·4 + 10·2 → C_y = 33.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33.33 = 11.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.33/0.7071 = −47.14 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−47.14)·0.7071 = 33.33 kN

答案

F_AC = 33.33 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_BC = 6.512 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(3.3² + 2²) = 3.859 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/3.859)·6 = 15·1.35

F_BC = 6.512 kN （压缩）

答案

F_BC = 6.512 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 51.63 kN

均布载荷的合力

w·L = 1.5·1.5 = 2.25 kN 位于 0.75 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.7809·0.6 = 2.25·0.75 + 15·1.5 = 24.19 kN·m

F_CD = 51.63 kN

答案

F_CD = 51.63 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −16 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2.5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 20 − 8·4.5 = −16 kN

答案

V_x = −16 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 90.31 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1.5 + 10·6·3

R_B = 255/6 = 42.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 42.5 = 67.5 kN

V = 0 在哪里？

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (67.5 − 50)/10 = 1.75 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1.5) − w·x₀²/2 = 90.31 kN·m

答案

M_max = 90.31 kN·m

它出现在距 A 为 x = 1.75 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 135.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 2827·144)/(28800 − 2827) = 117.4 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·2.613² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·26.61² = 2.639 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 135.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 135.8 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_j = 69.04 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 240 − 2·20 = 200 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·240³ − 116·200³)/12

I_x = 7.243 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

y = 120 − 20 = 100 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·100/7.243 × 10⁷ = 69.04 MPa

答案

σ_j = 69.04 MPa

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