静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−7, −2, 7) 与 b = (2, 6, 0) 的点积 a·b。

a = (−7, −2, 7)b = (2, 6, 0)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (0, −5, −4)、b = (−2, −1, 4) 和 c = (−2, −3, 4)。

a = (0, −5, −4)b = (−2, −1, 4)c = (−2, −3, 4)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 10 kN 位于 3.5 mP₂ = 15 kN 位于 5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并从 2 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP = 25 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 2 到 4 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 30 kN ↓F: 10 kN →H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m，顶部销钉 C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1.5 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.75 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 8 kNAB = 6 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1.5 mA 到 K 的水平距离 = 0.75 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 4 m，B 高 2.5 m，位于 A 右侧 2.4 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.6 m 处承受 10 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 6 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 10 kNQ = 6 kNL = 4 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 2.4 mA 到 K 的水平距离 = 0.6 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 70 kN 位于 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 0 m10 kN @ 12 m10 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 190 mm，内径 d = 158 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 190 mmd = 158 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 25 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 25 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −26

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

对应分量相乘再相加

a·b = (−7)·2 + (−2)·6 + 7·0 = (−14) + (−12) + 0 = −26

答案

a·b = −26

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 16

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·4 − 4·(−3) = 8

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·(−2) − (−2)·4 = 0

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·(−3) − (−1)·(−2) = 4

与 a 的点积

a·(b × c) = 0·8 + (−5)·0 + (−4)·4 = −16

V = |−16| = 16

答案

V = 16

3.梁的支座反力

答案: R_B = 18.33 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·3.5 + 15·5

R_B = 110/6 = 18.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 18.33 = 6.667 kN

答案

R_B = 18.33 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 11 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 25·1 + 20·3

R_B = 85/2.5 = 34 kN

R_A = 45 − 34 = 11 kN

答案

R_A = 11 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 28.33 kN (T), BC: 23.33 kN (T), CD: 23.33 kN (T), DE: 18.33 kN (T), FG: 28.33 kN (C), GH: 18.33 kN (C), AF: 35.42 kN (C), HE: 22.92 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (T), BG: 6.25 kN (T), DG: 6.25 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 18.75 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 18.75 kN (C), GH: 36.25 kN (C), AF: 14.58 kN (C), HE: 60.42 kN (C), BF: 11.67 kN (T), CG: 0, DH: 18.33 kN (T), BG: 14.58 kN (C), DG: 14.58 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 1.429 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 8·0.75/6 = 1 kN

腿 BC：对 C 取矩

1·3 = T·2.1

T = 1.429 kN

答案

T = 1.429 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 2.64 kN

BC 的方向

BC = 2.968 m, cos = 0.5391, sin = 0.8423

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.8423·4 = 10·0.6 + 6·2.5

F_BC = 6.233 kN

水平平衡

A_x + 6 − 6.233·0.5391 = 0

A_x = −2.64 kN → |A_x| = 2.64 kN

答案

A_x = 2.64 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −475 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −70·5 = −350 kN·m

w: −10·5²/2 = −125 kN·m

M_A = −350 − 125 = −475 kN·m

答案

M_A = −475 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 96.67 kN, R₂ = 28.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −46.67, M_D = −23.33, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −110 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 61.78 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 8746 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.338 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(3.338 × 10⁷/8746) = 61.78 mm

答案

r = 61.78 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 51.11 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

腹板: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·190 + 3240·90)/7240 = 145.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·20³/12 + 4000·(190 − 145.2)² = 8.144 × 10⁶ mm⁴

腹板: 18·180³/12 + 3240·(90 − 145.2)² = 1.864 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.144 × 10⁶ + 1.864 × 10⁷ = 2.678 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 200 − 145.2 = 54.75 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·54.75/2.678 × 10⁷ = 51.11 MPa

答案

σ_顶部 = 51.11 MPa

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