静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−4, 3, 6) 与 b = (0, k, −4) 垂直的 k 的值。

a = (−4, 3, 6)b = (0, k, −4)

k =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−5, 2, −5) 和 b = (−5, 3, −4) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−5, 2, −5)b = (−5, 3, −4)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 60 kN 位于 1.5 mP₂ = 25 kN 位于 2.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 7 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并从 7 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 7 mAC = 10 mP = 45 kN 位于 3 mw = 10 kN/m，从 7 到 10 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

H: 15 kN ↓H: 15 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m，顶部销钉 C 高 2 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.375 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 4 kNAB = 3 mC 的高度 = 2 mDE 的高度 = 1 mA 到 K 的水平距离 = 0.375 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 3 m。B 处悬挂 8 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 8 kNW_b = 0.5 kNAB = 5 mAC = 3 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 10 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 45 kN 位于 3 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 180 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 80 mm。底板和两肢厚度均为 8 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 180 mmh = 80 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 8

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积等于零

a·b = (−4)·0 + 3·k + 6·(−4) = 0

−24 + 3·k = 0

解出 k

k = −(−24)/3 = 8

答案

k = 8

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.5025

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−4) − (−5)·3 = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−5) − (−5)·(−4) = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·3 − 2·(−5) = −5

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(7² + 5² + (−5)²) = 9.95

n̂ = −(7, 5, −5)/9.95 = (−0.7035, −0.5025, 0.5025)

n̂_y = −0.5025

答案

n̂_y = −0.5025

3.梁的支座反力

答案: R_A = 46.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1.5 + 25·2.5

R_B = 152.5/4 = 38.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 38.13 = 46.88 kN

答案

R_A = 46.88 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 55.71 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 10·3 = 30 kN, x̄ = (7 + 10)/2 = 8.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·7 = 45·3 + 30·8.5

R_B = 390/7 = 55.71 kN

R_A = 75 − 55.71 = 19.29 kN

答案

R_B = 55.71 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −27.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26.25 = 8.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26.25/0.9487 = −27.67 kN

答案

F_BC = −27.67 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 8.438 kN (C), BC: 1.875 kN (C), CD: 1.875 kN (C), DE: 4.687 kN (T), FG: 6.563 kN (C), GH: 19.69 kN (C), AF: 10.94 kN (C), HE: 7.812 kN (C), BF: 8.75 kN (T), CG: 0, DH: 8.75 kN (C), BG: 10.94 kN (C), DG: 10.94 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 0.75 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 4·0.375/3 = 0.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

0.5·1.5 = T·1

T = 0.75 kN

答案

T = 0.75 kN

8.框架与机器

答案: T = 16.04 kN

缆绳角

BC = √(5² + 3²) = 5.831 m, sin β = 0.5145

对 A 取矩

T·0.5145·5 = 8·5 + 0.5·2.5

T = 16.04 kN

答案

T = 16.04 kN

9.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 35.83 kN, R₂ = 29.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 71.67, M_C = 143.3 kN·m, M_D = 115, M_E = 86.67, M_F = 58.33, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 143.3 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 42.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·3 + 6·4·2

R_B = 183/4 = 45.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 45.75 = 23.25 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 23.25·3 − 6·3·1.5 = 42.75 kN·m

答案

M_x = 42.75 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 21.78 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 180·8 = 1440 mm², y₁ = 4 mm

两肢: A₂ = 2·8·72 = 1152 mm², y₂ = 8 + 72/2 = 44 mm

形心

ȳ = (1440·4 + 1152·44)/2592 = 21.78 mm

答案

ȳ = 21.78 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 65.36 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 1200·130)/(20000 − 1200) = 98.09 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·1.915² = 66.74 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·40³/12 + 1200·31.91² = 1.382 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 65.36 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 65.36 × 10⁶ mm⁴

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