静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (15, 20, −30) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−1, 4, 3) 运动到点 B(−5, 0, −4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (15, 20, −30) NA(−1, 4, 3) mB(−5, 0, −4) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, −5, −2) 和 b = (−3, −2, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (2, −5, −2)b = (−3, −2, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 4 kN/m 减小到 B 处的零。距 A 为 1 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 45 kN 位于 1 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 6 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 1 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 3 mAD = 8 mP = 10 kN 位于 6 mQ = 20 kN 位于 1 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN ↓H: 30 kN ↓H: 15 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 200 mm）的 150 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 60 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 150 NOA = 200 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 3 m。B 处悬挂 2 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 2 kNW_b = 3 kNAB = 6 mAC = 3 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m60 kN @ 6 m10 kN @ 3 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 70 J

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

位移

d = B − A = (−5, 0, −4) − (−1, 4, 3) = (−4, −4, −7) m

功

W = F·d = 15·(−4) + 20·(−4) + (−30)·(−7) = 70 J

答案

W = 70 J

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.4486

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−2) − (−2)·(−2) = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−3) − 2·(−2) = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−2) − (−5)·(−3) = −19

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(6² + 10² + (−19)²) = 22.29

n̂ = −(6, 10, −19)/22.29 = (−0.2691, −0.4486, 0.8523)

n̂_y = −0.4486

答案

n̂_y = −0.4486

3.梁的支座反力

答案: R_A = 50.04 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·2.667 + 45·1

R_B = 10.96 kN

R_A = 61 − 10.96 = 50.04 kN

答案

R_A = 50.04 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 32 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·5 = 10·3

R_D = 6 kN

V_C = 10 − 6 = 4 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 20 + 4 = 24 kN

M_A = 20·1 + 4·3 = 32 kN·m

答案

M_A = 32 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 77.5 kN (T), BC: 77.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 109.6 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 3.536 kN (C), HC: 38.89 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 43.75 kN (T), BC: 43.75 kN (T), CD: 54.58 kN (T), DE: 54.58 kN (T), FG: 64.17 kN (C), GH: 64.17 kN (C), AF: 73.44 kN (C), HE: 68.23 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 6.771 kN (T), HC: 6.771 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_O = 522 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 150·200/60 = 500 N

销钉反力

O_x = 500 N, O_y = 150 N

F_O = √(500² + 150²) = 522 N

答案

F_O = 522 N

8.框架与机器

答案: A = 7.159 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (2 + 3/2)/0.4472 = 7.826 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 7 kN

A_y = 2 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

模

A = √(7² + 1.5²) = 7.159 kN

答案

A = 7.159 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 7 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 16·0.5 − 8·0.5·0.25 = 7 kN·m

答案

M_x = 7 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 48 kN, R₂ = 108 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −58, M_D = −78, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −120 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 114.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·120 − 706.9·144)/(24000 − 706.9) = 119.3 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·0.7283² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·24.73² = 0.472 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 114.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 114.7 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 50.72 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

腹板: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·255 + 3840·120)/8640 = 195 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·30³/12 + 4800·(255 − 195)² = 1.764 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·240³/12 + 3840·(120 − 195)² = 4.003 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.764 × 10⁷ + 4.003 × 10⁷ = 5.767 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 195 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·195/5.767 × 10⁷ = 50.72 MPa

答案

σ_底部 = 50.72 MPa

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