静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (5, −3, 4) 与 b = (−4, −6, −4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (5, −3, 4)b = (−4, −6, −4)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (40, −20, 40) N 作用在点 A(4, 3, −4)。坐标单位为米。求该力对点 O(−3, −3, −1) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (40, −20, 40) NA(4, 3, −4) mO(−3, −3, −1) m

M_y = N·m

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 8 mAC = 10 mP₁ = 70 kN 位于 6 mP₂ = 25 kN 位于 10 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 20 kN 位于 5 mw = 2 kN/m，从 4 到 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓F: 25 kN →G: 35 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1.2 m。B 处悬挂 10 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 10 kNAD = 0.75 mAB = 2 mAC = 1.2 m

A = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 200 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 12 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 2000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 2000 NAB = BC = 200 mmh = 12 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 2 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 6 m55 kN @ 2 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 84 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mm孔心: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 120 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 108 °

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = 5·(−4) + (−3)·(−6) + 4·(−4) = −18

模

|a| = √(5² + (−3)² + 4²) = 7.071

|b| = √((−4)² + (−6)² + (−4)²) = 8.246

相角

cos θ = −18/(7.071·8.246) = −0.3087

θ = arccos(−0.3087) = 108°

答案

θ = 108°

2.向量：点积和叉积

答案: M_y = −400 N·m

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (4, 3, −4) − (−3, −3, −1) = (7, 6, −3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 6·40 − (−3)·(−20) = 180 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·40 − 7·40 = −400 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 7·(−20) − 6·40 = −380 N·m

所求分量

M_y = −400 N·m

答案

M_y = −400 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 83.75 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·6 + 25·10

R_B = 670/8 = 83.75 kN

竖向平衡

R_A = 70 + 25 − 83.75 = 11.25 kN

答案

R_B = 83.75 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 4 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·5 + 2·2·5

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 20 = 4 kN

答案

R_A = 4 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 56.67 kN (T), BC: 56.67 kN (T), CD: 90 kN (T), DE: 90 kN (T), FG: 100 kN (C), GH: 100 kN (C), AF: 70.83 kN (C), HE: 112.5 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 54.17 kN (T), HC: 12.5 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 48.75 kN (T), BC: 48.75 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 62.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 33.59 kN (C), HE: 58.34 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 19.45 kN (T), HC: 30.05 kN (T)

答案

零杆: DH

7.框架与机器

答案: A = 23.57 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 10·2/(0.848·0.75) = 31.45 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 16.67 kN （指向墙）

A_y = 10 − F_CD·sin α = −16.67 kN

模

A = √(16.67² + −16.67²) = 23.57 kN

答案

A = 23.57 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: F = 240.4 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 12/200 = 0.06, θ = 3.44°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 2004 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·2000·tan θ = 240.4 N

答案

F = 240.4 N

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 43.33 kN, R₂ = 36.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 43.33, M_C = 86.67, M_D = 110 kN·m, M_E = 73.33, M_F = 36.67, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 110 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 22.5 kN, R₂ = 122.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 17.5, M_C = 25, M_D = −32.5, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −100 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 1963·84)/(48000 − 1963) = 121.5 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·−1.535² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−37.54² = 3.073 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 8.128 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (2800·150 + 1400·70)/4200 = 123.3 mm

上边缘: c = 160 − 123.3 = 36.67 mm

惯性矩

I = 140·20³/12 + 2800·26.67² + 10·140³/12 + 1400·53.33² = 8.353 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 60·8.353 × 10⁶/36.67 = 13.67 kN·m

下边缘: M = 120·8.353 × 10⁶/123.3 = 8.128 kN·m

控制值

M_allow = min = 8.128 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 8.128 kN·m

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