静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−10, −30, 10) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−4, 3, 3) 运动到点 B(−2, 2, 0)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−10, −30, 10) NA(−4, 3, 3) mB(−2, 2, 0) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (5, −2, −3) 和 b = (−3, 3, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (5, −2, −3)b = (−3, 3, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 35 kN 位于 4 mP₂ = 50 kN 位于 7 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP = 25 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓C: 20 kN ↓F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 30 kN ↓F: 20 kN ↓H: 25 kN ↓H: 35 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.2 m，作用 5 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 5 kNAB = 4 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 12 kNW_b = 0.5 kNAB = 2.5 mAC = 1.5 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 25 kN 位于 5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 0 m10 kN @ 12 m15 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = −20 J

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

位移

d = B − A = (−2, 2, 0) − (−4, 3, 3) = (2, −1, −3) m

功

W = F·d = (−10)·2 + (−30)·(−1) + 10·(−3) = −20 J

答案

W = −20 J

负功：力主要与运动方向相反。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.7687

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−2) − (−3)·3 = 13

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−3) − 5·(−2) = 19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·3 − (−2)·(−3) = 9

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(13² + 19² + 9²) = 24.72

n̂ = (13, 19, 9)/24.72 = (0.5259, 0.7687, 0.3641)

n̂_y = 0.7687

答案

n̂_y = 0.7687

3.梁的支座反力

答案: R_B = 61.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 50·7

R_B = 490/8 = 61.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 61.25 = 23.75 kN

答案

R_B = 61.25 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 6.833 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1 + 2·4·2

R_B = 41/6 = 6.833 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 6.833 = 26.17 kN

答案

R_B = 6.833 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 51.56 kN (T), BC: 51.56 kN (T), CD: 34.69 kN (T), DE: 34.69 kN (T), FG: 61.87 kN (C), GH: 61.87 kN (C), AF: 85.94 kN (C), HE: 57.81 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 17.19 kN (T), HC: 45.31 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 37.08 kN (T), BC: 49.17 kN (T), CD: 49.17 kN (T), DE: 61.25 kN (T), FG: 72.08 kN (C), GH: 96.25 kN (C), AF: 90.1 kN (C), HE: 76.56 kN (C), BF: 34.06 kN (T), CG: 0, DH: 20.94 kN (T), BG: 15.1 kN (C), DG: 15.1 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 0.9091 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 5·1.2/4 = 1.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.5·2 = T·3.3

T = 0.9091 kN

答案

T = 0.9091 kN

8.框架与机器

答案: T = 23.81 kN

缆绳角

BC = √(2.5² + 1.5²) = 2.915 m, sin β = 0.5145

对 A 取矩

T·0.5145·2.5 = 12·2.5 + 0.5·1.25

T = 23.81 kN

答案

T = 23.81 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −187.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −25·5 = −125 kN·m

w: −5·5²/2 = −62.5 kN·m

M_A = −125 − 62.5 = −187.5 kN·m

答案

M_A = −187.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 71.67 kN, R₂ = 8.333 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −76.67, M_D = −43.33, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −110 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 106.9 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

腹板: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·292.5 + 5600·140)/12100 = 221.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·25³/12 + 6500·(292.5 − 221.9)² = 3.272 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·280³/12 + 5600·(140 − 221.9)² = 7.417 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.272 × 10⁷ + 7.417 × 10⁷ = 1.069 × 10⁸ mm⁴ = 106.9 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 106.9 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 38.53 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

腹板: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·232.5 + 3520·110)/10520 = 191.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·25³/12 + 7000·(232.5 − 191.5)² = 1.213 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·220³/12 + 3520·(110 − 191.5)² = 3.758 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.213 × 10⁷ + 3.758 × 10⁷ = 4.971 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 191.5 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·191.5/4.971 × 10⁷ = 38.53 MPa

答案

σ_底部 = 38.53 MPa

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