静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−6, −4, 0) 在 b = (−1, −6, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−6, −4, 0)b = (−1, −6, −1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (−3, −1, −4) 和 b = (−3, 6, 2) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (−3, −1, −4)b = (−3, 6, 2)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 10 kN/m。距 A 为 3.5 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN 位于 3.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 60 kN 位于 1.5 mw = 8 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 40 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1.2 m。B 处悬挂 8 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 8 kNAD = 1.6 mAB = 2.4 mAC = 1.2 m

A = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 100 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 8 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 100 mmh = 8 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 25 kN·m，没有其他荷载。求力偶右侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mM₀ = 25 kN·m 顺时针，作用于 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mw = 10 kN/m，从 2 到 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 220 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 100 mm。底板和两肢厚度均为 12 mm。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b = 220 mmh = 100 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 4.867

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = (−6)·(−1) + (−4)·(−6) + 0·(−1) = 30

b 的长度

|b| = √((−1)² + (−6)² + (−1)²) = 6.164

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 30/6.164 = 4.867

答案

comp_b a = 4.867

2.向量：点积和叉积

答案: A = 35.34

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·2 − (−4)·6 = 22

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−3) − (−3)·2 = 18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·6 − (−1)·(−3) = −21

面积

A = |a × b| = √(22² + 18² + (−21)²) = 35.34

答案

A = 35.34

3.梁的支座反力

答案: R_B = 61.46 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2.667 + 55·3.5

R_B = 61.46 kN

R_A = 75 − 61.46 = 13.54 kN

答案

R_B = 61.46 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 40.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1.5 + 8·1·2.5

R_B = 110/4 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 27.5 = 40.5 kN

答案

R_A = 40.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 30 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·6 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.7071 = −42.43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42.43)·0.7071 = 30 kN

答案

F_AC = 30 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 43.12 kN (T), BC: 43.12 kN (T), CD: 48.12 kN (T), DE: 48.12 kN (T), FG: 76.25 kN (C), GH: 76.25 kN (C), AF: 88.54 kN (C), HE: 80.21 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 38.54 kN (T), HC: 30.21 kN (T)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: A = 16.49 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 8·2.4/(0.6·1.6) = 20 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 16 kN （指向墙）

A_y = 8 − F_CD·sin α = −4 kN

模

A = √(16² + −4²) = 16.49 kN

答案

A = 16.49 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: F = 642.1 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 8/100 = 0.08, θ = 4.589°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4013 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 642.1 N

答案

F = 642.1 N

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 16.67 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 25/6 = 4.167 kN (向上)

R_A = −R_B = −4.167 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 R_A 和力偶。

M_x = R_A·a + M₀ = −4.167·2 + 25 = 16.67 kN·m

答案

M_x = 16.67 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 22.05 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3·3.5

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 21 = 9 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 9/10 = 2.9 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 9·2.9 − 10·0.9²/2 = 22.05 kN·m

答案

M_max = 22.05 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 4.328 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 220·12 = 2640 mm², y₁ = 6 mm

两肢: A₂ = 2·12·88 = 2112 mm², y₂ = 12 + 88/2 = 56 mm

形心

ȳ = (2640·6 + 2112·56)/4752 = 28.22 mm

平行移轴定理

基质: 220·12³/12 + 2640·(6 − 28.22)² = 1.335 × 10⁶ mm⁴

两肢: 2·12·88³/12 + 2112·(56 − 28.22)² = 2.993 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.335 × 10⁶ + 2.993 × 10⁶

I_x = 4.328 × 10⁶ mm⁴ = 4.328 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 4.328 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 146 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247.5 mm

腹板: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·247.5 + 1920·120)/4020 = 186.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·15³/12 + 2100·(247.5 − 186.6)² = 7.827 × 10⁶ mm⁴

腹板: 8·240³/12 + 1920·(120 − 186.6)² = 1.773 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.827 × 10⁶ + 1.773 × 10⁷ = 2.556 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 186.6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·186.6/2.556 × 10⁷ = 146 MPa

答案

σ_底部 = 146 MPa

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