静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−6, −6, 3) 与 b = (k, −1, −1) 垂直的 k 的值。

a = (−6, −6, 3)b = (k, −1, −1)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (3, 4, 0)、b = (−2, 4, 0) 和 c = (2, 0, 1)。

a = (3, 4, 0)b = (−2, 4, 0)c = (2, 0, 1)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 15 kN 位于 2 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 15 kN 位于 3 mw = 4 kN/m，从 2 到 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓D: 35 kN ↓F: 30 kN ↓G: 10 kN ↓H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 5 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 300 mm）的 100 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 60 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 100 NOA = 300 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 5 kNW_b = 3 kNAB = 6 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 2 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 12 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 200 mm 的板有一个宽 60 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mm切口: 60 × 40 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 0.5

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积等于零

a·b = (−6)·k + (−6)·(−1) + 3·(−1) = 0

3 + (−6)·k = 0

解出 k

k = −3/(−6) = 0.5

答案

k = 0.5

2.向量：点积和叉积

答案: V = 20

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·1 − 0·0 = 4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·2 − (−2)·1 = 2

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·0 − 4·2 = −8

与 a 的点积

a·(b × c) = 3·4 + 4·2 + 0·(−8) = 20

V = |20| = 20

答案

V = 20

3.梁的支座反力

答案: R_B = 5.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·1 + 15·2

R_B = 55/10 = 5.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 5.5 = 34.5 kN

答案

R_B = 5.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 17.38 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·3 + 4·4·4

R_B = 109/8 = 13.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 13.63 = 17.38 kN

答案

R_A = 17.38 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 51.25 kN (T), BC: 57.5 kN (T), CD: 57.5 kN (T), DE: 53.75 kN (T), FG: 51.25 kN (C), GH: 53.75 kN (C), AF: 72.48 kN (C), HE: 76.01 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 38.75 kN (T), BG: 8.839 kN (C), DG: 5.303 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −12.58 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·2 + 5·3 → C_y = 5.625 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5.625 = 9.375 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5.625/0.4472 = −12.58 kN

答案

F_BC = −12.58 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_O = 509.9 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 100·300/60 = 500 N

销钉反力

O_x = 500 N, O_y = 100 N

F_O = √(500² + 100²) = 509.9 N

答案

F_O = 509.9 N

8.框架与机器

答案: A = 19.56 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (5 + 3/2)/0.3162 = 20.55 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 19.5 kN

A_y = 5 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

模

A = √(19.5² + 1.5²) = 19.56 kN

答案

A = 19.56 kN

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 35.83 kN, R₂ = 29.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 71.67, M_C = 123.3, M_D = 175 kN·m, M_E = 116.7, M_F = 58.33, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 175 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 15 kN, R₂ = 105 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 30, M_C = −60, M_D = −150, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −240 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 23.11 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172.5 mm

腹板: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·172.5 + 2880·80)/8880 = 142.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·25³/12 + 6000·(172.5 − 142.5)² = 5.713 × 10⁶ mm⁴

腹板: 18·160³/12 + 2880·(80 − 142.5)² = 1.739 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.713 × 10⁶ + 1.739 × 10⁷ = 2.311 × 10⁷ mm⁴ = 23.11 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 23.11 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 98.64 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 2400·120)/(30000 − 2400) = 98.26 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·1.739² = 100.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·40³/12 + 2400·21.74² = 1.454 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 98.64 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 98.64 × 10⁶ mm⁴

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