静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (20, −20, 10) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−1, −3, 4) 运动到点 B(1, 1, 1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (20, −20, 10) NA(−1, −3, 4) mB(1, 1, 1) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (3, 2, −5) 和 b = (−5, −2, −1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (3, 2, −5)b = (−5, −2, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 15 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 4.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 3 m 到位于 8 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 5 mAC = 8 mP = 40 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 3 到 8 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 60 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 15 kN →G: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m，顶部销钉 C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.375 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 8 kNAB = 3 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.375 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 5 kNW_b = 0.5 kNAB = 4 mAC = 1 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 20 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 290 mm，内径 d = 270 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 290 mmd = 270 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 150 mm 的板有一个宽 60 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mm切口: 60 × 50 mm孔心: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = −70 J

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

位移

d = B − A = (1, 1, 1) − (−1, −3, 4) = (2, 4, −3) m

功

W = F·d = 20·2 + (−20)·4 + 10·(−3) = −70 J

答案

W = −70 J

负功：力主要与运动方向相反。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.3906

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−1) − (−5)·(−2) = −12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−5) − 3·(−1) = 28

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−2) − 2·(−5) = 4

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−12)² + 28² + 4²) = 30.72

n̂ = (−12, 28, 4)/30.72 = (−0.3906, 0.9113, 0.1302)

n̂_x = −0.3906

答案

n̂_x = −0.3906

3.梁的支座反力

答案: R_B = 40 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1 + 50·4.5

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 40 = 25 kN

答案

R_B = 40 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 19 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2 + 50·5.5

R_B = 355/5 = 71 kN

R_A = 90 − 71 = 19 kN

答案

R_A = 19 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 13.13 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·7 → C_y = 52.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 52.5 = 7.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −52.5/0.9701 = −54.12 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−54.12)·0.2425 = 13.13 kN

答案

F_AC = 13.13 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 18.75 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 11.25 kN (T), FG: 18.75 kN (C), GH: 11.25 kN (C), AF: 5.303 kN (C), HE: 15.91 kN (C), BF: 3.75 kN (T), CG: 0, DH: 11.25 kN (T), BG: 5.303 kN (C), DG: 15.91 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 0.8333 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 8·0.375/3 = 1 kN

腿 BC：对 C 取矩

1·1.5 = T·1.8

T = 0.8333 kN

答案

T = 0.8333 kN

8.框架与机器

答案: A = 21 kN

缆绳拉力

T = (5 + 0.5/2)/0.2425 = 21.65 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 21 kN

A_y = 5 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(21² + 0.25²) = 21 kN

答案

A = 21 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 8.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 6·3.5 − 2·3.5·1.75 = 8.75 kN·m

答案

M_x = 8.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 87.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·1 + 10·8·4

R_B = 340/8 = 42.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 42.5 = 57.5 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 57.5·3 − 20·(3 − 1) − 10·3·1.5 = 87.5 kN·m

答案

M_x = 87.5 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 99.06 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 8796 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8.632 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(8.632 × 10⁷/8796) = 99.06 mm

答案

r = 99.06 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 39.81 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 3000·52.5)/(22500 − 3000) = 78.46 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·−3.462² = 42.46 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·50³/12 + 3000·−25.96² = 2.647 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 39.81 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 39.81 × 10⁶ mm⁴

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