静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (0, −10, −5) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(3, −2, −2) 运动到点 B(−2, −5, −5)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (0, −10, −5) NA(3, −2, −2) mB(−2, −5, −5) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (3, 4, 1)、b = (1, 3, −3) 和 c = (−3, −1, −5)。

a = (3, 4, 1)b = (1, 3, −3)c = (−3, −1, −5)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 50 kN 位于 3 mP₂ = 25 kN 位于 8 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 60 kN 位于 2.5 mw = 8 kN/m，从 1 到 4 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 25 kN ↓G: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 15 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 4.8 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.92 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 4 kNL = 8 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 4.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.92 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 0.75 m）。梁在全长上承受 4 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 4 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 4 kN/mP = 4 kNAD = 2 mAB = 2.4 mAC = 0.75 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 0 m50 kN @ 12 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 120 mm、厚 14 mm，总高度 280 mm，腹板厚 14 mm。求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 S_x。

B = 120 mmH = 280 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 110 × 12 mm，腹板高 230 mm、厚 10 mm，下翼缘为 260 × 20 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 110 × 12 mm腹板: 10 × 230 mm下翼缘: 260 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 45 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−2, −5, −5) − (3, −2, −2) = (−5, −3, −3) m

功

W = F·d = 0·(−5) + (−10)·(−3) + (−5)·(−3) = 45 J

答案

W = 45 J

2.向量：点积和叉积

答案: V = 10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·(−5) − (−3)·(−1) = −18

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−3) − 1·(−5) = 14

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·(−1) − 3·(−3) = 8

与 a 的点积

a·(b × c) = 3·(−18) + 4·14 + 1·8 = 10

V = |10| = 10

答案

V = 10

3.梁的支座反力

答案: R_A = 40 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·3 + 25·8

R_B = 350/10 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 35 = 40 kN

答案

R_A = 40 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 31.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2.5 + 8·3·2.5

R_B = 210/4 = 52.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 52.5 = 31.5 kN

答案

R_A = 31.5 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 21.25 kN (T), BC: 21.25 kN (T), CD: 33.75 kN (T), DE: 33.75 kN (T), FG: 42.5 kN (C), GH: 42.5 kN (C), AF: 30.05 kN (C), HE: 47.73 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 30.05 kN (T), HC: 12.37 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −2.577 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 + 15·4 → C_y = 12.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12.5 = 2.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2.5/0.9701 = −2.577 kN

答案

F_AB = −2.577 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 1.811 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(3.2² + 2²) = 3.774 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/3.774)·8 = 4·1.92

F_BC = 1.811 kN （压缩）

答案

F_BC = 1.811 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 30.07 kN

均布载荷的合力

w·L = 4·2.4 = 9.6 kN 位于 1.2 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.3511·2 = 9.6·1.2 + 4·2.4 = 21.12 kN·m

F_CD = 30.07 kN

答案

F_CD = 30.07 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 15.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15·3.5 − 6·3.5·1.75 = 15.75 kN·m

答案

M_x = 15.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 43.75 kN, R₂ = 71.25 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 27.5, M_D = −15, M_E = −57.5, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −100 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: S_x = 558.3 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 280 − 2·14 = 252 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·280³ − 106·252³)/12

I_x = 7.816 × 10⁷ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 7.816 × 10⁷/140

S_x = 558286 mm³ = 558.3 × 10³ mm³

答案

S_x = 558.3 × 10³ mm³

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 83.65 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 1320 mm², y = 256 mm

腹板: A = 2300 mm², y = 135 mm

下翼缘: A = 5200 mm², y = 10 mm

形心

ȳ = (1320·256 + 2300·135 + 5200·10)/8820 = 79.41 mm

平行移轴定理

上翼缘: 110·12³/12 + 1320·176.6² = 4.118 × 10⁷ mm⁴

腹板: 10·230³/12 + 2300·55.59² = 1.725 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 260·20³/12 + 5200·69.41² = 2.523 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.118 × 10⁷ + 1.725 × 10⁷ + 2.523 × 10⁷

I_x = 8.365 × 10⁷ mm⁴ = 83.65 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 83.65 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics