静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (2, −3, −4) 与 b = (3, 7, 4) 的点积 a·b。

a = (2, −3, −4)b = (3, 7, 4)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (20, −20, 50) N 作用在点 A(1, 0, 4)。坐标单位为米。求该力对点 O(−2, 2, −1) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (20, −20, 50) NA(1, 0, 4) mO(−2, 2, −1) m

M_y = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 3 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_A，以向上为正。

L = 5 mP = 35 kN 位于 0.5 mM = 40 kN·m (逆时针) 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 15 kN 位于 4 mw = 6 kN/m，从 3 到 10 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 15 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 150 mm）的 120 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 75 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 120 NOA = 150 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 4 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 12 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 120 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −31

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 2·3 + (−3)·7 + (−4)·4 = 6 + (−21) + (−16) = −31

答案

a·b = −31

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: M_y = −50 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (1, 0, 4) − (−2, 2, −1) = (3, −2, 5) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·50 − 5·(−20) = 0 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 5·20 − 3·50 = −50 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−20) − (−2)·20 = −20 N·m

所求分量

M_y = −50 N·m

答案

M_y = −50 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 39.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·5 − 35·0.5 + 40 = 0

R_B = −22.5/5 = −4.5 kN

竖向平衡

R_A = 35 − (−4.5) = 39.5 kN

答案

R_A = 39.5 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 23.7 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN，作用于 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·4 + 6·7·6.5

R_B = 333/10 = 33.3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 33.3 = 23.7 kN

答案

R_A = 23.7 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −26.83 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·1 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 6 = 24 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −24/0.8944 = −26.83 kN

答案

F_AB = −26.83 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −23.76 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 + 15·2 → C_y = 21.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 21.25 = −1.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21.25/0.8944 = −23.76 kN

答案

F_BC = −23.76 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_O = 268.3 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 120·150/75 = 240 N

销钉反力

O_x = 240 N, O_y = 120 N

F_O = √(240² + 120²) = 268.3 N

答案

F_O = 268.3 N

8.框架与机器

答案: A = 5.099 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (4 + 2/2)/0.7071 = 7.071 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 5 kN

A_y = 4 + 2 − T·sin β = 1 kN

模

A = √(5² + 1²) = 5.099 kN

答案

A = 5.099 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 10 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 20 − 10·1 = 10 kN

答案

V_x = 10 kN

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 7.5 kN, R₂ = 77.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30, M_D = −55, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −140 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 5.131 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

腹板: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·132.5 + 960·60)/3960 = 114.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·25³/12 + 3000·(132.5 − 114.9)² = 1.083 × 10⁶ mm⁴

腹板: 8·120³/12 + 960·(60 − 114.9)² = 4.048 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.083 × 10⁶ + 4.048 × 10⁶ = 5.131 × 10⁶ mm⁴ = 5.131 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 5.131 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 15.94 kN·m

形心

ȳ = (3000·225 + 3520·110)/6520 = 162.9 mm

上边缘: c = 230 − 162.9 = 67.09 mm

惯性矩

I = 300·10³/12 + 3000·62.09² + 16·220³/12 + 3520·52.91² = 3.564 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 30·3.564 × 10⁷/67.09 = 15.94 kN·m

下边缘: M = 120·3.564 × 10⁷/162.9 = 26.25 kN·m

控制值

M_allow = min = 15.94 kN·m (上边缘)

答案

M_allow = 15.94 kN·m

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