静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (0, 2, 5) 与 b = (−4, −7, −5) 的点积 a·b。

a = (0, 2, 5)b = (−4, −7, −5)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−20, −10, −20) N 作用在点 A(0, −1, −2)。坐标单位为米。求该力对点 O(0, −3, 0) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (−20, −10, −20) NA(0, −1, −2) mO(0, −3, 0) m

M_y = N·m

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 40 kN 位于 2 mP₂ = 60 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 3 mAD = 8 mP = 50 kN 位于 7 mw = 6 kN/m，从 3 到 8 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓D: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 5 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.5 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 5 kNAD = 1.2 mAB = 3.6 mAC = 0.5 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 3 m。B 处悬挂 10 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 10 kNW_b = 0.5 kNAB = 5 mAC = 3 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求荷载 P₁ 处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP₁ = 55 kN 位于 3 mP₂ = 25 kN 位于 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 0 m50 kN @ 12 m30 kN @ 6 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 300 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 200 mm。底板和两肢厚度均为 18 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 300 mmh = 200 mmt = 18 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −39

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 0·(−4) + 2·(−7) + 5·(−5) = 0 + (−14) + (−25) = −39

答案

a·b = −39

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: M_y = 40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (0, −1, −2) − (0, −3, 0) = (0, 2, −2) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−20) − (−2)·(−10) = −60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·(−20) − 0·(−20) = 40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·(−10) − 2·(−20) = 40 N·m

所求分量

M_y = 40 N·m

答案

M_y = 40 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = −26.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 40·2 + 60·5

R_B = 380/3 = 126.7 kN

竖向平衡

R_A = 40 + 60 − 126.7 = −26.67 kN

答案

R_A = −26.67 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: M_A = 75 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 6·5 = 30 kN 位于 2.5 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 50·4 + 30·2.5

R_D = 55 kN

V_C = 80 − 55 = 25 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 25 = 25 kN

M_A = 25·3 = 75 kN·m

答案

M_A = 75 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 36.25 kN (T), BC: 52.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 48.75 kN (T), FG: 36.25 kN (C), GH: 48.75 kN (C), AF: 51.27 kN (C), HE: 68.94 kN (C), BF: 36.25 kN (T), CG: 0, DH: 13.75 kN (T), BG: 22.98 kN (C), DG: 5.303 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −55.9 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 − 5·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 10 = 50 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −50/0.8944 = −55.9 kN

答案

F_AB = −55.9 kN (受压)

7.框架与机器

答案: A = 37.36 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 5·3.6/(0.3846·1.2) = 39 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 36 kN （指向墙）

A_y = 5 − F_CD·sin α = −10 kN

模

A = √(36² + −10²) = 37.36 kN

答案

A = 37.36 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: T = 19.92 kN

缆绳角

BC = √(5² + 3²) = 5.831 m, sin β = 0.5145

对 A 取矩

T·0.5145·5 = 10·5 + 0.5·2.5

T = 19.92 kN

答案

T = 19.92 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 22.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·3 + 25·5

R_B = 290/4 = 72.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 72.5 = 7.5 kN

在 P₁ 处截开，保留左侧部分

M_x = R_A·3 = 7.5·3 = 22.5 kN·m

答案

M_x = 22.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 80.67 kN, R₂ = 107.3 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −120, M_C = −94.67, M_D = −101.3, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −200 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 63.82 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 300·18 = 5400 mm², y₁ = 9 mm

两肢: A₂ = 2·18·182 = 6552 mm², y₂ = 18 + 182/2 = 109 mm

形心

ȳ = (5400·9 + 6552·109)/11952 = 63.82 mm

答案

ȳ = 63.82 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 98.16 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

腹板: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·305 + 2400·150)/3400 = 195.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(305 − 195.6)² = 1.198 × 10⁷ mm⁴

腹板: 8·300³/12 + 2400·(150 − 195.6)² = 2.299 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.198 × 10⁷ + 2.299 × 10⁷ = 3.497 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 310 − 195.6 = 114.4 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·114.4/3.497 × 10⁷ = 98.16 MPa

答案

σ_顶部 = 98.16 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

静力学：速成包

1公式与方法

向量：点积和叉积

方法

梁的支座反力

方法

桁架：节点法

方法

框架与机器

方法

剪力和弯矩

方法

形心和惯性矩

2练习题

3溶液

对应分量相乘再相加

答案

从 O 到 A 的位置向量

力矩 M = r × F

所求分量

答案

对 A 取矩

竖向平衡

答案

CD 段

AC 段

答案

节点 C

用节点法检验

答案

支座反力

节点 A

答案

撑杆力

A 处的分量

模

答案

缆绳角

对 A 取矩

答案

支座反力

在 P1 处截开，保留左侧部分

答案

支座反力

每个标记点处的弯矩

答案

分成若干矩形

形心

答案

分成两个矩形

形心

平行移轴定理

弯曲应力

答案

在 P₁ 处截开，保留左侧部分