静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求使向量 a = (−3, −4, 0) 与 b = (k, 6, 1) 垂直的 k 的值。

a = (−3, −4, 0)b = (k, 6, 1)
k =
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

对于 a = (6, 2, 2) 和 b = (5, 2, −2)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)z。

a = (6, 2, 2)b = (5, 2, −2)
(a × b)z =
3.梁的支座反力中等
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?4 m4 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。 求墙处的竖向反力 RA。

L = 8 mP = 60 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 m
RA = kN
4.梁的支座反力困难
w = 4 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m1 m5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 8 mP = 20 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 1 到 3 m
RA = kN
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB35 kN6 m2 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 35 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN25 kN5 m1 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 25 kN →
FBC = kN
7.框架与机器中等
15 kN6 m1.5 m2.5 mABCDE

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.5 m。C 处作用 15 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 15 kNAB = 6 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 1.5 m
C = kN
8.框架与机器困难
10 kN2.4 m0.6 m1.8 mABCDE

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2.4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2.4 m，并由高度为 0.6 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 10 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 10 kNAB = 2.4 mC 的高度 = 2.4 mDE 的高度 = 0.6 m
T = kN
9.剪力和弯矩中等
P1​ = 65 kNP2​ = 20 kNABC1.5 m2.5 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5.5 mP1 = 65 kN 位于 1.5 mP2 = 20 kN 位于 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mx = kN·m
10.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mABC8 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。

L = 9 mw = 2 kN/m，从 0 到 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
xc = m
11.形心和惯性矩中等
1804402010x尺寸单位为 mm

对称工字形截面的翼缘宽 180 mm、厚 20 mm，总高度 440 mm，腹板厚 10 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。

B = 180 mmH = 440 mmtf = 20 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
12.形心和惯性矩困难
2001030018x负弯矩 M尺寸单位为 mm

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 100 MPa。 求梁能承受的最大负弯矩 Mallow（给出其大小）。

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 300 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −8

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−3)·k + (−4)·6 + 0·1 = 0
−24 + (−3)·k = 0

解出 k

k = −(−24)/(−3) = −8

答案

k = −8
2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)z = 2

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)x = aybz − azby = 2·(−2) − 2·2 = −8
(a × b)y = azbx − axbz = 2·5 − 6·(−2) = 22
(a × b)z = axby − aybx = 6·2 − 2·5 = 2

所求分量

(a × b)z = 2

答案

(a × b)z = 2

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: RA = 140 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 10·8 = 80 kN, x̄ = 4 m

竖向平衡

RA = P + W = 60 + 80 = 140 kN

答案

RA = 140 kN
4.梁的支座反力

答案: RA = 21 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 4 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m1 m1 m5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·2 + 4·2·2
RB = 56/8 = 7 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 7 = 21 kN

答案

RA = 21 kN
5.桁架：节点法

答案: FAB = −26.09 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·2 → Cy = 11.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 11.67 = 23.33 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −23.33/0.8944 = −26.09 kN

答案

FAB = −26.09 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −46.96 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·1 + 25·2 → Cy = 21 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 21 = 34 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21/0.4472 = −46.96 kN

答案

FBC = −46.96 kN (受压)
7.框架与机器

答案: C = 11.72 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

By = 7.5 kN
T = 7.5·3/2.5 = 9 kN

BC 上销钉力的分量

Cx = T = 9 kN, Cy = −By = −7.5 kN

模

C = √(9² + 7.5²) = 11.72 kN

答案

C = 11.72 kN
8.框架与机器

答案: T = 6.667 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

By·2.4 = 10·2.4
By = 10 kN

腿 BC：对 C 取矩

10·1.2 = T·1.8
T = 6.667 kN

答案

T = 6.667 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: Mx = 49.69 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·4 = 65·1.5 + 20·5.5
RB = 207.5/4 = 51.88 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 51.88 = 33.13 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·1.5 = 33.13·1.5 = 49.69 kN·m

答案

Mx = 49.69 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: xc = 7.875 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·9 = 18 kN，作用于 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·9·4.5
RB = 81/8 = 10.13 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 10.13 = 7.875 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·7.875/2 = 7.875 m

答案

xc = 7.875 m
11.形心和惯性矩

答案: Sx = 1687 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。

hw = 440 − 2·20 = 400 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·440³ − 170·400³)/12
Ix = 3.711 × 10⁸ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 220 mm
Sx = I/c = 3.711 × 10⁸/220
Sx = 1.687 × 10⁶ mm³ = 1687 × 10³ mm³

答案

Sx = 1687 × 10³ mm³
12.形心和惯性矩

答案: Mallow = 19.2 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (2000·305 + 5400·150)/7400 = 191.9 mm
上边缘: c = 310 − 191.9 = 118.1 mm

惯性矩

I = 200·10³/12 + 2000·113.1² + 18·300³/12 + 5400·41.89² = 7.558 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 30·7.558 × 10⁷/118.1 = 19.2 kN·m
下边缘: M = 100·7.558 × 10⁷/191.9 = 39.39 kN·m

控制值

Mallow = min = 19.2 kN·m (上边缘)

答案

Mallow = 19.2 kN·m

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