静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (5, 0, −6) 与 b = (3, 0, −2) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (5, 0, −6)b = (3, 0, −2)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (30, 20, 20) N 作用在点 A(−3, −1, −3)。坐标单位为米。求该力对点 O(−2, −2, −1) 的力矩的 z 分量 M_z。

F = (30, 20, 20) NA(−3, −1, −3) mO(−2, −2, −1) m

M_z = N·m

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 75 kN 位于 0.5 mP₂ = 25 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 55 kN 位于 3 mw = 6 kN/m，从 5 到 7 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

G: 15 kN ↓H: 35 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1 m。B 处悬挂 2 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 2 kNAD = 1 mAB = 3 mAC = 1 m

A = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 3 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.75 m 处承受 6 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 6 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 6 kNQ = 6 kNL = 5 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 3 mA 到 K 的水平距离 = 0.75 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 10 mw = 20 kN/m，从 3 到 9 m

x₀ = m

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 72 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 16.5 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 5·3 + 0·0 + (−6)·(−2) = 27

模

|a| = √(5² + 0² + (−6)²) = 7.81

|b| = √(3² + 0² + (−2)²) = 3.606

相角

cos θ = 27/(7.81·3.606) = 0.9588

θ = arccos(0.9588) = 16.5°

答案

θ = 16.5°

2.向量：点积和叉积

答案: M_z = −50 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−3, −1, −3) − (−2, −2, −1) = (−1, 1, −2) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·20 − (−2)·20 = 60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·30 − (−1)·20 = −40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·20 − 1·30 = −50 N·m

所求分量

M_z = −50 N·m

答案

M_z = −50 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 45.83 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 75·0.5 + 25·5

R_B = 162.5/3 = 54.17 kN

竖向平衡

R_A = 75 + 25 − 54.17 = 45.83 kN

答案

R_A = 45.83 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 37.38 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·3 + 6·2·6

R_B = 237/8 = 29.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 29.63 = 37.38 kN

答案

R_A = 37.38 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −18.03 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 15 = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0.8321 = −18.03 kN

答案

F_BC = −18.03 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 8.75 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 18.75 kN (C), GH: 41.25 kN (C), AF: 26.52 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 18.75 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (C), BG: 26.52 kN (C), DG: 5.303 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: A = 7.211 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 2·3/(0.7071·1) = 8.485 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 6 kN （指向墙）

A_y = 2 − F_CD·sin α = −4 kN

模

A = √(6² + −4²) = 7.211 kN

答案

A = 7.211 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A_x = 3.15 kN

BC 的方向

BC = 4.472 m, cos = 0.4472, sin = 0.8944

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.8944·5 = 6·0.75 + 6·4

F_BC = 6.373 kN

水平平衡

A_x + 6 − 6.373·0.4472 = 0

A_x = −3.15 kN → |A_x| = 3.15 kN

答案

A_x = 3.15 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 32 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 24·2 − 8·2·1 = 32 kN·m

答案

M_x = 32 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x₀ = 5.4 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 20·6 = 120 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·6·6

R_B = 720/10 = 72 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 72 = 48 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 48/20 = 5.4 m

答案

x₀ = 5.4 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 107.2 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·120 − 2827·72)/(24000 − 2827) = 126.4 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·−6.41² = 116.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−54.41² = 9.007 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 107.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 107.2 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 136.1 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (28800·120 − 2500·96)/(28800 − 2500) = 122.3 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·−2.281² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·50³/12 + 2500·−26.28² = 2.248 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 136.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 136.1 × 10⁶ mm⁴

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