静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−1, −6, −3) 与 b = (3, −5, 1) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−1, −6, −3)b = (3, −5, 1)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (2, −1, 3)、b = (−1, 3, 3) 和 c = (1, −3, 2)。

a = (2, −1, 3)b = (−1, 3, 3)c = (1, −3, 2)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP₁ = 50 kN 位于 3 mP₂ = 55 kN 位于 4 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 25 kN 位于 5 mw = 8 kN/m，从 1 到 4 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 60 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓F: 40 kN ↓H: 15 kN ↓H: 30 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.5 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 5 kNAD = 0.75 mAB = 1.5 mAC = 0.5 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 3 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 6 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 3 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP₁ = 15 kN 位于 2 mP₂ = 10 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 10 kN 位于 3 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 220 mm，内径 d = 196 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 220 mmd = 196 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 53.26 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−1)·3 + (−6)·(−5) + (−3)·1 = 24

模

|a| = √((−1)² + (−6)² + (−3)²) = 6.782

|b| = √(3² + (−5)² + 1²) = 5.916

相角

cos θ = 24/(6.782·5.916) = 0.5981

θ = arccos(0.5981) = 53.26°

答案

θ = 53.26°

2.向量：点积和叉积

答案: V = 25

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·2 − 3·(−3) = 15

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·1 − (−1)·2 = 5

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·(−3) − 3·1 = 0

与 a 的点积

a·(b × c) = 2·15 + (−1)·5 + 3·0 = 25

V = |25| = 25

答案

V = 25

3.梁的支座反力

答案: R_A = 31 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3 + 55·4

R_B = 370/5 = 74 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 74 = 31 kN

答案

R_A = 31 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 23.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·5 + 8·3·2.5

R_B = 185/8 = 23.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 23.13 = 25.88 kN

答案

R_B = 23.13 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −50.6 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 → C_y = 48 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 48 = 12 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48/0.9487 = −50.6 kN

答案

F_BC = −50.6 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 26.25 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 18.75 kN (T), FG: 56.25 kN (C), GH: 48.75 kN (C), AF: 79.55 kN (C), HE: 26.52 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (T), BG: 5.303 kN (T), DG: 5.303 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: A = 15.81 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 5·1.5/(0.5547·0.75) = 18.03 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 15 kN （指向墙）

A_y = 5 − F_CD·sin α = −5 kN

模

A = √(15² + −5²) = 15.81 kN

答案

A = 15.81 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A = 4.773 kN

缆绳拉力

T = (6 + 2/2)/0.8321 = 8.413 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 4.667 kN

A_y = 6 + 2 − T·sin β = 1 kN

模

A = √(4.667² + 1²) = 4.773 kN

答案

A = 4.773 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 22.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2 + 10·2.5

R_B = 55/4 = 13.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 13.75 = 11.25 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·2 = 11.25·2 = 22.5 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1.5 = 13.75·1.5 = 20.63 kN·m

最大值

M_max = 22.5 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 22.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·3 + 6·10·5

R_B = 330/10 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 33 = 37 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 37·3 − 6·3·1.5 = 84 kN·m

答案

M_x = 84 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 73.66 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 7841 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.255 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(4.255 × 10⁷/7841) = 73.66 mm

答案

r = 73.66 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 27.57 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247.5 mm

腹板: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·247.5 + 3360·120)/7560 = 190.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·15³/12 + 4200·(247.5 − 190.8)² = 1.357 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·240³/12 + 3360·(120 − 190.8)² = 3.299 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.357 × 10⁷ + 3.299 × 10⁷ = 4.655 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 255 − 190.8 = 64.17 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·64.17/4.655 × 10⁷ = 27.57 MPa

答案

σ_顶部 = 27.57 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics