静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−3, 6, 2) 与 b = (6, −5, 2) 的点积 a·b。

a = (−3, 6, 2)b = (6, −5, 2)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (0, 1, −4) 和 b = (−4, 5, −5) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (0, 1, −4)b = (−4, 5, −5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 20 kN 位于 2 mP₂ = 55 kN 位于 6 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 4 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 50°；距 A 为 9 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 10 mP = 60 kN 位于 4 m, θ = 50°Q = 70 kN 位于 9 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 35 kN ↓D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 5 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.6 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 12 kNAB = 3 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.6 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 0.6 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.2 m，作用 10 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 10 kNAB = 4 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 0.6 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP₁ = 15 kN 位于 2 mP₂ = 60 kN 位于 3 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 5 mw = 4 kN/m，从 0 到 3 m

x₀ = m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −44

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−3)·6 + 6·(−5) + 2·2 = (−18) + (−30) + 4 = −44

答案

a·b = −44

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.7177

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−5) − (−4)·5 = 15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−4) − 0·(−5) = 16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·5 − 1·(−4) = 4

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(15² + 16² + 4²) = 22.29

n̂ = (15, 16, 4)/22.29 = (0.6728, 0.7177, 0.1794)

n̂_y = 0.7177

答案

n̂_y = 0.7177

3.梁的支座反力

答案: R_B = 46.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 55·6

R_B = 370/8 = 46.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 46.25 = 28.75 kN

答案

R_B = 46.25 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 51.8 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 60·sin 50° = 45.96 kN

P_h = 60·cos 50° = 38.57 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45.96·4 + 70·9 → R_B = 81.39 kN

A_y = 45.96 + 70 − 81.39 = 34.58 kN

A_x = P_h = 38.57 kN

A 处的合力

R_A = √(38.57² + 34.58²) = 51.8 kN

答案

R_A = 51.8 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 33.75 kN (T), BC: 33.75 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 56.25 kN (C), HE: 68.75 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 43.75 kN (T), HC: 31.25 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −46.56 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·1 − 5·3 → C_y = 5.833 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 5.833 = 44.17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −44.17/0.9487 = −46.56 kN

答案

F_AB = −46.56 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 1.091 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 12·0.6/3 = 2.4 kN

腿 BC：对 C 取矩

2.4·1.5 = T·3.3

T = 1.091 kN

答案

T = 1.091 kN

8.框架与机器

答案: C = 4.356 kN

B 处的支座反力

B_y = 10·1.2/4 = 3 kN

拉杆力

T = 3·2/1.9 = 3.158 kN

BC 上的销钉力

C_x = 3.158 kN, C_y = −3 kN

C = √(3.158² + 3²) = 4.356 kN

答案

C = 4.356 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 60·3

R_B = 210/5 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 42 = 33 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·2 = 33·2 = 66 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·2 = 42·2 = 84 kN·m

最大值

M_max = 84 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 84 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x₀ = 2.1 m

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·3·1.5

R_B = 18/5 = 3.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 3.6 = 8.4 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 8.4/4 = 2.1 m

答案

x₀ = 2.1 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.29 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·225 + 2640·110)/5040 = 164.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·10³/12 + 2400·(225 − 164.8)² = 8.729 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·220³/12 + 2640·(110 − 164.8)² = 1.857 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.729 × 10⁶ + 1.857 × 10⁷ = 2.729 × 10⁷ mm⁴ = 27.29 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.29 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 22.62 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

腹板: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·275 + 4680·130)/9480 = 203.4 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·30³/12 + 4800·(275 − 203.4)² = 2.496 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·260³/12 + 4680·(130 − 203.4)² = 5.159 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.496 × 10⁷ + 5.159 × 10⁷ = 7.655 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 290 − 203.4 = 86.58 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·86.58/7.655 × 10⁷ = 22.62 MPa

答案

σ_顶部 = 22.62 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics