静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−6, −5, 1) 与 b = (6, −6, 1) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−6, −5, 1)b = (6, −6, 1)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−10, 20, −10) N 作用在点 A(−2, −2, 2)。坐标单位为米。求该力对点 O(−2, −1, −3) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (−10, 20, −10) NA(−2, −2, 2) mO(−2, −1, −3) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP₁ = 35 kN 位于 1 mP₂ = 15 kN 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 50 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 1 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 40 kN ↓F: 40 kN →H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 120 mm）的 300 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 150 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 300 NOA = 120 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.2 m）。梁在全长上承受 2.5 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 10 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 2.5 kN/mP = 10 kNAD = 0.75 mAB = 2.5 mAC = 1.2 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 5.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 6 m15 kN @ 3 m5 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 45 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mm孔心: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mm切口: 40 × 40 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 94.26 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·6 + (−5)·(−6) + 1·1 = −5

模

|a| = √((−6)² + (−5)² + 1²) = 7.874

|b| = √(6² + (−6)² + 1²) = 8.544

相角

cos θ = −5/(7.874·8.544) = −0.07432

θ = arccos(−0.07432) = 94.26°

答案

θ = 94.26°

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = −90 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−2, −2, 2) − (−2, −1, −3) = (0, −1, 5) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−10) − 5·20 = −90 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 5·(−10) − 0·(−10) = −50 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·20 − (−1)·(−10) = −10 N·m

所求分量

M_x = −90 N·m

答案

M_x = −90 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 38 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 35·1 + 15·4

R_B = 95/2.5 = 38 kN

竖向平衡

R_A = 35 + 15 − 38 = 12 kN

答案

R_B = 38 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 34.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN，作用于 x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1.5 + 4·1·0.5

R_B = 77/4 = 19.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 19.25 = 34.75 kN

答案

R_A = 34.75 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −28.28 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 20 = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.7071 = −28.28 kN

答案

F_BC = −28.28 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40.31 kN (T), BC: 40.63 kN (T), CD: 40.63 kN (T), DE: 40.94 kN (T), FG: 40.31 kN (C), GH: 40.94 kN (C), AF: 0.5208 kN (C), HE: 68.23 kN (C), BF: 0.4167 kN (T), CG: 0, DH: 39.58 kN (T), BG: 0.5208 kN (C), DG: 0.5208 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_O = 384.2 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 300·120/150 = 240 N

销钉反力

O_x = 240 N, O_y = 300 N

F_O = √(240² + 300²) = 384.2 N

答案

F_O = 384.2 N

8.框架与机器

答案: F_CD = 51.59 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

均布载荷的合力

w·L = 2.5·2.5 = 6.25 kN 位于 1.25 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.848·0.75 = 6.25·1.25 + 10·2.5 = 32.81 kN·m

F_CD = 51.59 kN

答案

F_CD = 51.59 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 34.38 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 20·5.5 − 5·5.5·2.75 = 34.38 kN·m

答案

M_x = 34.38 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 1.25 kN, R₂ = 58.75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −1.25, M_C = −7.5, M_D = −18.75, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −50 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 40.86 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 1257·45)/(22500 − 1257) = 76.77 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·−1.775² = 42.26 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31.77² = 1.394 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 40.86 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 40.86 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 333.9 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (45000·150 − 1600·105)/(45000 − 1600) = 151.7 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·−1.659² = 337.6 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·40³/12 + 1600·−46.66² = 3.697 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 333.9 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 333.9 × 10⁶ mm⁴

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