静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (15, 15, 15) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(4, −3, 4) 运动到点 B(5, −5, 3)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (15, 15, 15) NA(4, −3, 4) mB(5, −5, 3) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (3, 1, −2) 和 b = (−4, 3, 3) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (3, 1, −2)b = (−4, 3, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 20 kN 位于 3 mP₂ = 35 kN 位于 6 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 8 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 5 mw₀ = 8 kN/mP = 15 kN 位于 4 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 20 kN →G: 35 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 150 mm）的 250 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 80 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 250 NOA = 150 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 100 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 5 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 2000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 2000 NAB = BC = 100 mmh = 5 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 35 kN 位于 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 200 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 160 mm。底板和两肢厚度均为 10 mm。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b = 200 mmh = 160 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = −30 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (5, −5, 3) − (4, −3, 4) = (1, −2, −1) m

功

W = F·d = 15·1 + 15·(−2) + 15·(−1) = −30 J

答案

W = −30 J

负功：力主要与运动方向相反。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.06312

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·3 − (−2)·3 = 9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−4) − 3·3 = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·3 − 1·(−4) = 13

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(9² + (−1)² + 13²) = 15.84

n̂ = (9, −1, 13)/15.84 = (0.5681, −0.06312, 0.8206)

n̂_y = −0.06312

答案

n̂_y = −0.06312

3.梁的支座反力

答案: R_B = 33.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 35·6

R_B = 270/8 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 33.75 = 21.25 kN

答案

R_B = 33.75 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 93.33 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 20·1.667 + 15·4 = 93.33 kN·m

答案

M_A = 93.33 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −5.657 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·1 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 4 = 16 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −4/0.7071 = −5.657 kN

答案

F_BC = −5.657 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 35 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 21.21 kN (C), HE: 42.43 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 21.21 kN (C), DG: 28.28 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_O = 531.3 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 250·150/80 = 468.8 N

销钉反力

O_x = 468.8 N, O_y = 250 N

F_O = √(468.8² + 250²) = 531.3 N

答案

F_O = 531.3 N

8.框架与机器

答案: F = 200.3 N

连杆角

sin θ = 5/100 = 0.05, θ = 2.866°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 2003 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·2000·tan θ = 200.3 N

答案

F = 200.3 N

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 13.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 12·4.5 − 4·4.5·2.25 = 13.5 kN·m

答案

M_x = 13.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 212.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·5 + 10·10·5

R_B = 675/10 = 67.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 67.5 = 67.5 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 67.5·5 − 10·5·2.5 = 212.5 kN·m

答案

M_x = 212.5 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 13.32 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 200·10 = 2000 mm², y₁ = 5 mm

两肢: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

形心

ȳ = (2000·5 + 3000·85)/5000 = 53 mm

平行移轴定理

基质: 200·10³/12 + 2000·(5 − 53)² = 4.625 × 10⁶ mm⁴

两肢: 2·10·150³/12 + 3000·(85 − 53)² = 8.697 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4.625 × 10⁶ + 8.697 × 10⁶

I_x = 1.332 × 10⁷ mm⁴ = 13.32 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 13.32 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 117.2 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252.5 mm

腹板: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·252.5 + 3360·120)/7860 = 195.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·25³/12 + 4500·(252.5 − 195.9)² = 1.467 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·240³/12 + 3360·(120 − 195.9)² = 3.546 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.467 × 10⁷ + 3.546 × 10⁷ = 5.013 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 195.9 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·195.9/5.013 × 10⁷ = 117.2 MPa

答案

σ_底部 = 117.2 MPa

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