静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (4, 3, −6) 在 b = (5, 0, 4) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (4, 3, −6)b = (5, 0, 4)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (1, −6, 0) 和 b = (2, 4, −1)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (1, −6, 0)b = (2, 4, −1)

(a × b)_z =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 55 kN 位于 5 mP₂ = 35 kN 位于 8 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 45 kN 位于 2.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m，顶部销钉 C 高 2.4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.125 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 3 mC 的高度 = 2.4 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 1.125 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 4 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 1.8 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 1.35 m 处承受 8 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 2 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 8 kNQ = 2 kNL = 4 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.35 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 左侧紧邻处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 9.5 mP₁ = 50 kN 位于 1 mP₂ = 65 kN 位于 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 0 m15 kN @ 12 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −0.6247

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·5 + 3·0 + (−6)·4 = −4

b 的长度

|b| = √(5² + 0² + 4²) = 6.403

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −4/6.403 = −0.6247

答案

comp_b a = −0.6247

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 16

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·(−1) − 0·4 = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·2 − 1·(−1) = 1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·4 − (−6)·2 = 16

所求分量

(a × b)_z = 16

答案

(a × b)_z = 16

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_B = 55.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 35·8

R_B = 555/10 = 55.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 55.5 = 34.5 kN

答案

R_B = 55.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 52.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·2.5 + 12·5·2.5

R_B = 262.5/5 = 52.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 52.5 = 52.5 kN

答案

R_A = 52.5 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 55 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 75 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 77.78 kN (C), HE: 106.1 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 21.21 kN (C), DG: 7.071 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −46.12 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 − 30·2 → C_y = −6.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − −6.25 = 41.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −41.25/0.8944 = −46.12 kN

答案

F_AB = −46.12 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 7.031 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 15·1.125/3 = 5.625 kN

腿 BC：对 C 取矩

5.625·1.5 = T·1.2

T = 7.031 kN

答案

T = 7.031 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 0.585 kN

BC 的方向

BC = 4.565 m, cos = 0.4819, sin = 0.8762

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.8762·4 = 8·1.35 + 2·4

F_BC = 5.364 kN

水平平衡

A_x + 2 − 5.364·0.4819 = 0

A_x = 0.585 kN → |A_x| = 0.585 kN

答案

A_x = 0.585 kN

A_x 指向右。

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −18.44 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·1 + 65·9.5

R_B = 667.5/8 = 83.44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 83.44 = 31.56 kN

在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分

V_x = R_A − P₁ = 31.56 − 50 = −18.44 kN

答案

V_x = −18.44 kN

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 76.67 kN, R₂ = 33.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −70 kN·m, M_C = 13.33, M_D = −23.33, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −70 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 2827·140)/(40000 − 2827) = 96.96 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·3.042² = 133.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·43.04² = 5.874 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 56.67 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

腹板: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·307.5 + 3000·150)/6300 = 232.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·15³/12 + 3300·(307.5 − 232.5)² = 1.862 × 10⁷ mm⁴

腹板: 10·300³/12 + 3000·(150 − 232.5)² = 4.292 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.862 × 10⁷ + 4.292 × 10⁷ = 6.154 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 232.5 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·232.5/6.154 × 10⁷ = 56.67 MPa

答案

σ_底部 = 56.67 MPa

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