静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (6, −1, 6) 与 b = (4, −3, −3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (6, −1, 6)b = (4, −3, −3)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−20, 10, 0) N 作用在点 A(−3, 0, −4)。坐标单位为米。求该力对点 O(1, −3, 0) 的力矩的 z 分量 M_z。

F = (−20, 10, 0) NA(−3, 0, −4) mO(1, −3, 0) m

M_z = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 55 kN 位于 5 mP₂ = 50 kN 位于 6 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 1 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 50°；距 A 为 3.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 4 mP = 65 kN 位于 1 m, θ = 50°Q = 30 kN 位于 3.5 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 20 kN ↓H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓D: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 5 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。C 处作用 2 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 2 kNAB = 5 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 1.2 m

C = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 1.5 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.75 m 处承受 4 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 8 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 4 kNQ = 8 kNL = 5 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 1.5 mA 到 K 的水平距离 = 0.75 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 0.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 220 mm、厚 18 mm，总高度 320 mm，腹板厚 12 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 100 kN·m。求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σ_j 的大小。

B = 220 mmH = 320 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 79.59 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 6·4 + (−1)·(−3) + 6·(−3) = 9

模

|a| = √(6² + (−1)² + 6²) = 8.544

|b| = √(4² + (−3)² + (−3)²) = 5.831

相角

cos θ = 9/(8.544·5.831) = 0.1807

θ = arccos(0.1807) = 79.59°

答案

θ = 79.59°

2.向量：点积和叉积

答案: M_z = 20 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−3, 0, −4) − (1, −3, 0) = (−4, 3, −4) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·0 − (−4)·10 = 40 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·(−20) − (−4)·0 = 80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·10 − 3·(−20) = 20 N·m

所求分量

M_z = 20 N·m

答案

M_z = 20 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 71.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 50·6

R_B = 575/8 = 71.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 71.88 = 33.13 kN

答案

R_B = 71.88 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 58.6 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 65·sin 50° = 49.79 kN

P_h = 65·cos 50° = 41.78 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·4 = 49.79·1 + 30·3.5 → R_B = 38.7 kN

A_y = 49.79 + 30 − 38.7 = 41.09 kN

A_x = P_h = 41.78 kN

A 处的合力

R_A = √(41.78² + 41.09²) = 58.6 kN

答案

R_A = 58.6 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 22.5 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 22.5 kN (C), GH: 27.5 kN (C), AF: 31.82 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 2.5 kN (T), CG: 0, DH: 2.5 kN (C), BG: 3.536 kN (C), DG: 3.536 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 1.25 kN (C), BC: 1.25 kN (C), CD: 26.25 kN (T), DE: 26.25 kN (T), FG: 37.5 kN (C), GH: 37.5 kN (C), AF: 33.59 kN (C), HE: 37.12 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 19.45 kN (T), HC: 19.45 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: C = 2.168 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 1 kN

T = 1·2.5/1.3 = 1.923 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 1.923 kN, C_y = −B_y = −1 kN

模

C = √(1.923² + 1²) = 2.168 kN

答案

C = 2.168 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 1.875 kN

BC 的方向

BC = 5.315 m, cos = 0.6585, sin = 0.7526

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.7526·5 = 4·0.75 + 8·4

F_BC = 9.301 kN

水平平衡

A_x + 8 − 9.301·0.6585 = 0

A_x = −1.875 kN → |A_x| = 1.875 kN

答案

A_x = 1.875 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 10 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 12 − 4·0.5 = 10 kN

答案

V_x = 10 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 51.04 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·5·2.5

R_B = 150/6 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 25 = 35 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 35/12 = 2.917 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 35·2.917 − 12·2.917²/2 = 51.04 kN·m

答案

M_max = 51.04 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 21.57 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·225 + 2640·110)/3840 = 145.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·10³/12 + 1200·(225 − 145.9)² = 7.511 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·220³/12 + 2640·(110 − 145.9)² = 1.406 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.511 × 10⁶ + 1.406 × 10⁷ = 2.157 × 10⁷ mm⁴ = 21.57 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 21.57 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_j = 69.71 MPa

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 320 − 2·18 = 284 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·320³ − 208·284³)/12

I_x = 2.037 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 160 − 18 = 142 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·142/2.037 × 10⁸ = 69.71 MPa

答案

σ_j = 69.71 MPa

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