静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−6, −5, −1) 在 b = (6, 5, −2) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−6, −5, −1)b = (6, 5, −2)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (2, −5, 1) 和 b = (6, 2, 6)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (2, −5, 1)b = (6, 2, 6)

(a × b)_z =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP₁ = 80 kN 位于 2 mP₂ = 60 kN 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 50 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 35 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 10 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 12° 角。B 处施加 400 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 400 Nθ = 12°

Q = N

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.5 m）。梁在全长上承受 4 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 12 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 4 kN/mP = 12 kNAD = 1.5 mAB = 2.4 mAC = 1.5 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2.5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2.5 mP = 50 kN 位于 2.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 2.5 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 100 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −7.318

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·6 + (−5)·5 + (−1)·(−2) = −59

b 的长度

|b| = √(6² + 5² + (−2)²) = 8.062

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −59/8.062 = −7.318

答案

comp_b a = −7.318

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 34

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·6 − 1·2 = −32

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·6 − 2·6 = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·2 − (−5)·6 = 34

所求分量

(a × b)_z = 34

答案

(a × b)_z = 34

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_B = 160 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 80·2 + 60·4

R_B = 400/2.5 = 160 kN

竖向平衡

R_A = 80 + 60 − 160 = −20 kN

答案

R_B = 160 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 43.42 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 3·1·2.5

R_B = 57.5/6 = 9.583 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 9.583 = 43.42 kN

答案

R_A = 43.42 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −25.51 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·5 → C_y = 21.88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 21.88 = 13.13 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13.13/0.5145 = −25.51 kN

答案

F_AB = −25.51 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −26.93 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·5 − 10·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 10 = 10 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10/0.3714 = −26.93 kN

答案

F_AB = −26.93 kN (受压)

7.框架与机器

答案: Q = 940.9 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 12° = 400

F_link = 961.9 N

夹紧力

Q = F_link·cos 12° = 400/(2·tan 12°) = 940.9 N

答案

Q = 940.9 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 2.352 会无限增大。

8.框架与机器

答案: F_CD = 38.01 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

均布载荷的合力

w·L = 4·2.4 = 9.6 kN 位于 1.2 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.7071·1.5 = 9.6·1.2 + 12·2.4 = 40.32 kN·m

F_CD = 38.01 kN

答案

F_CD = 38.01 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −156.3 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −50·2.5 = −125 kN·m

w: −10·2.5²/2 = −31.25 kN·m

M_A = −125 − 31.25 = −156.3 kN·m

答案

M_A = −156.3 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 6.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·6·3

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 27 = 9 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9/6 = 1.5 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9²/(2·6) = 6.75 kN·m

答案

M_max = 6.75 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 2827·60)/(40000 − 2827) = 103 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·−3.042² = 133.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−43.04² = 5.874 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 3.847 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (3000·192.5 + 2160·90)/5160 = 149.6 mm

上边缘: c = 205 − 149.6 = 55.41 mm

惯性矩

I = 120·25³/12 + 3000·42.91² + 12·180³/12 + 2160·59.59² = 1.918 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 100·1.918 × 10⁷/55.41 = 34.62 kN·m

下边缘: M = 30·1.918 × 10⁷/149.6 = 3.847 kN·m

控制值

M_allow = min = 3.847 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 3.847 kN·m

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