静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−2, −5, −3) 与 b = (−3, 1, 3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−2, −5, −3)b = (−3, 1, 3)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−3, 1, 1) 和 b = (2, 4, 0) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (−3, 1, 1)b = (2, 4, 0)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 35 kN 位于 1.5 mP₂ = 20 kN 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 50°；距 A 为 5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 8 mP = 20 kN 位于 3 m, θ = 50°Q = 25 kN 位于 5 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 55 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m，顶部销钉 C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.96 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 6 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.96 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4.8 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.8 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 8 kNAB = 4.8 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.8 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mw = 6 kN/m，从 1 到 4 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 150 mm 的板有一个宽 80 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mm切口: 80 × 20 mm孔心: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 107.3 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·(−3) + (−5)·1 + (−3)·3 = −8

模

|a| = √((−2)² + (−5)² + (−3)²) = 6.164

|b| = √((−3)² + 1² + 3²) = 4.359

相角

cos θ = −8/(6.164·4.359) = −0.2977

θ = arccos(−0.2977) = 107.3°

答案

θ = 107.3°

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.2722

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·0 − 1·4 = −4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·2 − (−3)·0 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·4 − 1·2 = −14

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−4)² + 2² + (−14)²) = 14.7

n̂ = −(−4, 2, −14)/14.7 = (0.2722, −0.1361, 0.9526)

n̂_x = 0.2722

答案

n̂_x = 0.2722

3.梁的支座反力

答案: R_A = 26.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1.5 + 20·3

R_B = 112.5/4 = 28.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 28.13 = 26.88 kN

答案

R_A = 26.88 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 22.9 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 20·sin 50° = 15.32 kN

P_h = 20·cos 50° = 12.86 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15.32·3 + 25·5 → R_B = 21.37 kN

A_y = 15.32 + 25 − 21.37 = 18.95 kN

A_x = P_h = 12.86 kN

A 处的合力

R_A = √(12.86² + 18.95²) = 22.9 kN

答案

R_A = 22.9 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −24.68 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 → C_y = 45.83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 45.83 = 9.167 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9.167/0.3714 = −24.68 kN

答案

F_AB = −24.68 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 8 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·4 − 20·3 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 24 = 21 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0.9487 = −25.3 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25.3)·0.3162 = 8 kN

答案

F_AC = 8 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: T = 1.2 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 6·0.96/3.2 = 1.8 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.8·1.6 = T·2.4

T = 1.2 kN

答案

T = 1.2 kN

8.框架与机器

答案: C = 4.014 kN

B 处的支座反力

B_y = 8·1.8/4.8 = 3 kN

拉杆力

T = 3·2.4/2.7 = 2.667 kN

BC 上的销钉力

C_x = 2.667 kN, C_y = −3 kN

C = √(2.667² + 3²) = 4.014 kN

答案

C = 4.014 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 18 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 12·3 − 4·3·1.5 = 18 kN·m

答案

M_x = 18 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 10.55 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·3·2.5

R_B = 45/4 = 11.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 11.25 = 6.75 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 6.75/6 = 2.125 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 6.75·2.125 − 6·1.125²/2 = 10.55 kN·m

答案

M_max = 10.55 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 33.09 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·225 + 3520·110)/5920 = 156.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·10³/12 + 2400·(225 − 156.6)² = 1.124 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·220³/12 + 3520·(110 − 156.6)² = 2.185 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.124 × 10⁷ + 2.185 × 10⁷ = 3.309 × 10⁷ mm⁴ = 33.09 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 33.09 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 41.26 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 1600·52.5)/(22500 − 1600) = 76.72 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·−1.722² = 42.25 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·20³/12 + 1600·−24.22² = 0.9921 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 41.26 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 41.26 × 10⁶ mm⁴

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